Cours de Mathématiques (IUT)

Résumé du document

On appelle équations de récurrence linéaire du premier ordre une équation de récurrence du type un+1 = au(n) + b où a et b sont deux constantes.
Nous allons tout d'abord détailler les cas particuliers où b = 0 puis a = 1.
Théorème 1.1
Soit a une constante non nulle. Les solutions de l'équation de récurrence u(n+1) = au(n) (...)

Extraits

[...] Ce lien entre transformée de Laplace et transformée de Fourier laisse supposer des similitudes entre les propriétés de la transformation de Fourier et la transformation de Laplace. Ce qui va être confirmé par les résultats de ce paragraphe. Propriété 4.3 (Linéarité) Soit f , g deux fonction dans L1 et λ une constante. Les fonctions f + g et λf sont alors dans L1 et F + = F ) + F F (λf ) = λF ) Propriété 4.4 (Image d'une translatée (formule du retard si τ > Soit f L1 et τ une constante réelle. [...]

[...] tn + En particulier pour α = 21 et pour α = 12 t = 1 + 12 t + t + t + + tn + t t + + tn + = 1 12 t + 1 = . k t 2k t k=0 sin(t) = tk = 1 + t + t2 + + tn + k t k k=1 et = P R 1 Chapitre 6 Transformation en z Soit une suite x = (xn . On prolonge sa définition sur Z en posant xn = 0 si n [...]

[...] On prend pour première part une moitié du camembert, puis comme deuxième part la moitié de la moitié restante, c'est-à-dire un quart, puis comme troisième part la moitié du quart restant, à savoir un huitième et ainsi de suite. Dans ce cas, on obtient bien une infinité de parts, dont les surfaces ajoutées donne la surface du départ du fromage. On vient empiriquement de constater que : + + . + n = 1 lim Prouvons ce résultat. [...]

[...] Dans ce cas, on dit P qu'il y a convergence absolue. De plus, on a k=p uk k=p uk . Propriété 2.3 (Critère de comparaison) Si uk vk pour tout k assez grand et si la série est absolument convergente (donc convergente). P vk est convergente alors la série P uk CRITÈRES DE CONVERGENCE 11 Exemple 2.4 Etudions la nature de la série Pour tout entier naturel Donc P cos k k cos k 1 cos k 1 cos k 1 k2 k2 Or, la série de terme général k12 est convergente (série de Riemann pour α = donc la série étudiée est absolument convergente. [...]

[...] De plus, pour tout t on a X f ) + f ) cn ) ejnωt = 2 et dans le cas réel f ) + f ) a0 X + an cos (nωt) + bn sin (nωt) = n=1 où f ) et f ) désignent respectivement les limites à gauche et à droite de f en t. Ainsi, si f est continue en t alors X cn ) ejnωt = f 2 En fait, on peut en déduire seulement cn njωt = f pour "presque tout t". [...]