Les nombres complexes

Résumé du document

Cours complet sur les nombres complexes, le quatrième chapitre de Terminale Scientifique.
Document complet au format "Acrobat Reader" (PDF). Idéal pour toute personne désireuse d'avoir un approfondissement dans les cours qu'elle n'a pas compris. Document avec de nombreuses illustrations et des graphiques ...

Extraits

[...] Exercice: On pose z1 = 1 z1 = 1 + z2 = 3 2i et z2 = 3 + 2i. Calculer z1 + z z1 z z1 + z z1 z z2 + z2 et z2 z Remarque: i n'est ni positif ni n´gatif ! Plus g´n´ralement, un complexe n'a pas de signe. Ainsi, e e e on ne peut pas ordonner les complexes. Autrement dit, on ne dira jamais que tel complexe est plus petit (ou plus grand) que tel autre complexe Ecriture alg´brique, module et conjugu´ d'un nombre complexe. [...]

[...] On ´tend donc ici les notations et on cherche f sous la forme θ λeiθ . Comme f (2π) = f λe e 2 on a 1 = λe2iπ = λ2 eiπ = λ2 e2iπ . On en d´duit que λ = 1. Conclusion, on peut ´crire f = eiθ . e e = cos θ i sin θ = Donc, if = .Si bien qu'on a 7 Pour tout r´el θ on pose e eiθ = cos θ + i sin θ Pour tout complexe z = 0 on a donc, la notation dite exponentielle z = z eiθ et les formules ei(θ+θ ) = eiθ eiθ ei(θ−θ ) = eniθ = eiθ n eiθ eiθ pour tout entier n eiθ = e−iθ Remarque: Pour θ = π on obtient la formule eiπ = qui relie de fa¸on tr`s simple 4 nombres extraordinaires. [...]

[...] e ` Regle pratique pour determiner un argument d'un complexe. Si on souhaite obtenir un argument de z lorsqu'on dispose de sa forme alg´brique, on part de e a z = a + ib et on calcule z = a2 + b On ´crit alors z = +b2 + i On cherche ensuite θ tel e que cos θ = sin θ = a a2 +b2 b a2 +b2 Si ce r´el θ fait partie des angles de r´f´rence (un multiple de e ee π 6 ou π 4 alors 6 on sait donner la r´ponse exacte. [...]

[...] Ce qui signifie que u v u v trigonom´trique comme sur la figure). On a donc mes ) = π . Cela signifie qu'une mesure de e u v 2 ; est π ` 2π pr`s. l'angle ( u v a e Argument d'un complexe non nul Pour tout complexe z non nul il existe un unique r´el r > 0 et une infinit´ de r´els θ tel que e e e r sin Θ M z z = r (cos θ + i sin θ) sin Θ v z r Θ cos Θ O u r cos Θ Exemple Donnons la forme trigonom´trique de z = 1+i. [...]

[...] savez vous le montrer En particulier l'´quation x e L'effort d'imagination des math´maticiens du XVI`me n'est pas diff´rent de l'effort que vous avez fait e e e dans votre scolarit´: ils ont un nouvel ensemble de nombres donnant une solution ` l'´quation e ee a e 2 = x Nous verrons, lors de cette construction, que ce nouvel ensemble de nombres va nous permettre de comprendre beaucoup de notions notamment en . g´om´trie Nous verrons l'apport de ces nombres e e dans la trigonom´trie. [...]