Les limites et la notion de continuité

Résumé du document

Cours de mathématiques de Terminale S portant sur les limites et la notion de continuité des fonctions. Ce document comprend les définitions, les propriétés, les démonstrations et des exemples nécessaires à la compréhension de ces notions.

Extraits

[...] Théorèmes de comparaisons : 1. Théorème des Gendarmes : Si pour tout x d'un intervalle on a et Si = l Démonstration : et Tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de et pour x suffisamment grand. Or donc les valeurs de appartiennent aux mêmes intervalles que et h(x). Donc tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de pour x suffisamment grand et donc : 2. Théorème de comparaison : Si pour tout x d'un intervalle on a et alors Démonstration : g a pour limite + en + donc tout intervalle de la forme ; + [ contient toutes les valeurs de pour x suffisamment grand. [...]

[...] Pour montrer qu'une fonction est continue sur ; il faut montrer qu'elle est continue en tout point de cet intervalle puis que : et que Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont continues sur R. Les fonctions rationnelles sont continues sur leurs intervalles de définition. La somme et le produit de deux fonctions continues sont des fonctions continues. Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue sur les intervalles de définitions de ces deux fonctions. La composée de deux fonctions continues en a est une fonction continue en a. [...]

[...] Limites en a : 1. Limite infinie en a : Dire que la fonction f a pour limite en a signifie que les valeurs de peuvent être rendues aussi grandes/petites que l'on veut pour x suffisamment proche de a Limite finie en a : Dire que la fonction f tend vers une limite l quand x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs pour x suffisamment proche de a. Propriété (admise) : Si f admet une limite en celle-ci est unique. [...]

[...] Limites et Continuité : Limites en l'infini : 1. Limite finie en : Dire qu'une fonction f a pour limite le nombre l en + signifie que : tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs pour x suffisamment grand. Propriété : les fonctions , et (avec n ont pour limite 0 en + Limites infinies en : Dire qu'une fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle de la forme ; + [ ou ; contient toutes les valeurs pour x suffisamment grand. [...]