Les limites d'une fonction et la continuité

Résumé du document

Cours complet sur les limites d'une fonction, et la continuité d'une fonction, deuxième chapitre de Terminale Scientifique. Document complet au format "Acrobat Reader" (PDF). Document avec illustrations et graphiques permettant de comprendre facilement le cours et les points délicats.

Extraits

[...] o La limite d'une fraction rationnelle en (ou en est la limite des rapports des termes de plus haut degr´. e Exemples x2 + 3x 5 4x2 7x + 1 On reconnait une fraction rationnelle. La limite en est donc d'apr`s la proposition pr´c´dente e e e x2 la limite des rapports des termes de plus haut degr´. Autrement dit il suffit de calculer lim 4x e lim Or, x2 4x2 = pour tout x = 0. Donc lim x2 4x2 = lim x2 4x2 1 = 4. [...]

[...] 5 Nous admettrons que les polynˆmes, les fractions rationnelles, les fonctions sin, cos, tan o et racine carr´e sont continues sur tout intervalle elles sont d´finies. e u e Exemples: 1 x est continue sur l'intervalle et sur l'intervalle . est continue sur l'intervalle sur l'intervalle . x2 On d´montre aussi le th´or`me suivant l'aide des d´finitions mais c'est long et donc admis) e e e a e Th´or`me e e La somme, le produit, le quotient et la compos´e de deux fonctions continues est une e fonction continue sur chaque intervalle la fonction obtenue est d´finie. [...]

[...] En observant et quels th´or`mes est-on amen´ ` conjecturer ? e e ea Les th´or`mes e e Nous proposerons une d´monstration de ces deux th´or`mes en exercice. e e e Le th´or`me des valeurs interm´diaires e e e Soit f une fonction continue sur un intervalle . Alors, pour tout nombre k interm´diaire entre f et f , l'´quation f = k admet au moins une solution dans e e l'intervalle b]. Exemples La fonction x x2 est continue sur 5]. [...]

[...] Exemple: La fonction h : x x + sin x est encadr´e par f x 1 et g : x x + 1 au voisinage de et de e car pour tout x on a sin x sin x 1 x+1 Comme les limites en (respectivement de f et g sont (respectivement alors la limite de h en (respectivement est (respectivement Application de la continuit´ e Retour sur la notion de continuit´ e Nous avons implicitement utilis´ le fait que certaines usuelles ´taient continues pour en d´duire des limites. e e e Ainsi, dans les exemples pr´c´dents nous avons ´crit lim = Ceci signifie exactement que la e e e 1 fonction x est continue en 5. Rappelons la d´finition: e f est continue en a si lim f = f . On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si f est continue en tout point de I. [...]

[...] La limite en est donc d'apr`s la proposition pr´c´dente e e e 2 la limite des rapports des termes de plus haut degr´. Autrement dit il suffit de calculer lim 3x e 4x lim Or 3x2 4x3 = 3 4x pour tout x = 0. Donc 3 lim x 4x = lim 3 4x = 0. Etudions un exemple. On souhaite connaˆ lim x2 + 1. Intuitivement, on a envie de dire que quand ıtre x est proche de x2 + 1 est proche de 2 et donc x2 + 1 est proche de 2. [...]