Les intégrales généralisées

Nicolas B.

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Les intégrales généralisées

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Fiche de mathématiques niveau Maths Sup résumant les propriétés essentielles des intégrales généralisées : intégrales de référence, positivité de l'intégrale, fonctions équivalentes et convergence des intégrales, notion d'intégrale semi-convergente.

Sommaire

I) Définition d'une intégrale généralisée
II) Quelques propriétés sur les intégrales généralisées
III) Cas des fonctions prolongeables par continuité en b
IV) Quelques intégrales de référence
V) Extension de la notion d'intégrale généralisée
VI) Positivité de l'intégrale
VII) Une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une intégrale
VIII) Comparaison de fonctions et convergence des intégrales
IX) Fonctions équivalentes et convergence des intégrales
X) Convergence absolue d'une intégrale généralisée
XI) Lien entre intégrale convergente et intégrale absolument convergente
XII) Notion d'intégrale semi-convergente
XIII) Une propriété sur les intégrales absolument convergentes
XIV) Quelques valeurs classiques d'intégrales généralisées

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Extraits

[...] (C'est la relation de Chasles pour les intégrales généralisées). c)On a b òa f ).dt = - a ò b f ).dt . b b òa f ).dt + ò a g ).dt . = a. Cas des fonctions prolongeables par continuité en b HYPOTHESES a et b sont deux REELS tels que a b. f : est une fonction CONTINUE sur b[. SI f est prolongeable par continuité en alors l'intégrale b ò a f ).dt est convergente. Somme de deux intégrales de nature contraire HYPOTHESES On considère aÎR et bÎ R tels que a b. [...]

[...] f , g : sont deux fonctions CONTINUES sur b[. On suppose que les intégrales b b ò a f ).dt et ò a g ).dt sont toutes deux CONVERGENTES. On a alors : a)"aÎR : b b ò a . f + g ).dt est convergente et on a : òa . f + g ).dt (c'est la linéarité des intégrales généralisées). b)"cÎ]a, : b òa f ).dt = c òa f ).dt + b ò c f ).dt . [...]

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