Fiche de mathématiques niveau Maths Sup résumant les propriétés essentielles des intégrales généralisées : intégrales de référence, positivité de l'intégrale, fonctions équivalentes et convergence des intégrales, notion d'intégrale semi-convergente.
Sommaire
I) Définition d'une intégrale généralisée II) Quelques propriétés sur les intégrales généralisées III) Cas des fonctions prolongeables par continuité en b IV) Quelques intégrales de référence V) Extension de la notion d'intégrale généralisée VI) Positivité de l'intégrale VII) Une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une intégrale VIII) Comparaison de fonctions et convergence des intégrales IX) Fonctions équivalentes et convergence des intégrales X) Convergence absolue d'une intégrale généralisée XI) Lien entre intégrale convergente et intégrale absolument convergente XII) Notion d'intégrale semi-convergente XIII) Une propriété sur les intégrales absolument convergentes XIV) Quelques valeurs classiques d'intégrales généralisées
I) Définition d'une intégrale généralisée II) Quelques propriétés sur les intégrales généralisées III) Cas des fonctions prolongeables par continuité en b IV) Quelques intégrales de référence V) Extension de la notion d'intégrale généralisée VI) Positivité de l'intégrale VII) Une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une intégrale VIII) Comparaison de fonctions et convergence des intégrales IX) Fonctions équivalentes et convergence des intégrales X) Convergence absolue d'une intégrale généralisée XI) Lien entre intégrale convergente et intégrale absolument convergente XII) Notion d'intégrale semi-convergente XIII) Une propriété sur les intégrales absolument convergentes XIV) Quelques valeurs classiques d'intégrales généralisées
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Extraits
[...] (C'est la relation de Chasles pour les intégrales généralisées). c)On a b òa f ).dt = - a ò b f ).dt . b b òa f ).dt + ò a g ).dt . = a. Cas des fonctions prolongeables par continuité en b HYPOTHESES a et b sont deux REELS tels que a b. f : est une fonction CONTINUE sur b[. SI f est prolongeable par continuité en alors l'intégrale b ò a f ).dt est convergente. Somme de deux intégrales de nature contraire HYPOTHESES On considère aÎR et bÎ R tels que a b. [...]
[...] f , g : sont deux fonctions CONTINUES sur b[. On suppose que les intégrales b b ò a f ).dt et ò a g ).dt sont toutes deux CONVERGENTES. On a alors : a)"aÎR : b b ò a . f + g ).dt est convergente et on a : òa . f + g ).dt (c'est la linéarité des intégrales généralisées). b)"cÎ]a, : b òa f ).dt = c òa f ).dt + b ò c f ).dt . [...]
