Les fonctions élémentaires

Résumé du document

Il est souvent utile, et même parfois nécessaire de représenter « graphiquement », c'est à dire par un dessin, les valeurs prises par les images en fonction des valeurs de la variable. On décide de représenter chaque couple (x,y) par un point du plan dont les coordonnées seront effectivement le couple (x,y).
x s'appelle alors l'abscisse et y l'ordonnée du point à dessiner.
L'ensemble des points ainsi dessinés s'appelle le « graphe » de la fonction étudiée.

Il est alors évident que si un point de coordonnées (x,y) appartient au graphe de la fonction f alors la relation y = f(x) est vérifiée. Et si un point est commun à deux graphes définis par des fonctions f et g ses coordonnées doivent vérifier les deux fonctions f et g et donc principalement en ce point on a f(x) = g(x).
Cette représentation graphique se dessine à partir de deux axes convenus à l'avance : l'un représentant l'axe repérant les valeurs de x (axe des abscisses) et l'autre repérant les valeurs de y (axe des ordonnées). Il est d'usage commode de choisir un « repère orthonormé » du plan (axes perpendiculaires et même unité).
Les représentations graphiques de fonctions permettent parfois de trouver « graphiquement » les solutions de certains problèmes que l'on ne sait pas résoudre algébriquement. (...)

Extraits

[...] Le coefficient a s'appelle le coefficient directeur de la droite. On comprend pourquoi ! (tangente Selon le signe du coefficient directeur on aura une fonction croissante ou décroissante III) Fonctions affines Elles sont du type : = a*x + b où a et b sont des réels quelconques mais constants. Exemple : Un taxi fait payer 2 euros le km de course mais avec une prise en charge de 5 Euros. Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où b = mais une fonction affine ne possède pas les propriétés de linéarité. [...]

[...] On note cette fonction ln. On notera : y = ln(x) avec ln(1) = 0 Cette seule définition ne nous apporte rien. Les valeurs des images sont données par des tables de logarithmes ou par votre calculatrice ou par un tableur. Ces logarithmes népériens ont pour base de calcul un nombre bien mystérieux appelée la constante de Neper notée qui est l'unique réel tel que ln(e)=1. Il est de la même nature que le nombre ( c'est à dire irrationnel. [...]

[...] Ce point étant situé sur l'axe des ordonnées, le coefficient b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite. Pour tracer le graphe d'une fonction affine il faut donc avoir deux points distincts. On choisit arbitrairement une valeur de x (et pourquoi pas on en déduit la valeur correspondante de y. On a donc les coordonnées d'un premier point M1 de la droite. On recommence avec une autre valeur de x qui déterminera M2. Selon le signe du coefficient directeur on aura une fonction croissante ou décroissante IV) Fonctions composées Un cycliste part en randonnée à 8 heures. [...]

[...] Certaines fonctions ont des propriétés particulièrement intéressantes. Par exemple : Si tout élément de ℝ a une image et une image unique, certains disent que cette fonction est une application (ceci est convenu au secondaire mais contesté au supérieur Si en plus tout élément de ℝ a un antécédent unique on dira que cette fonction est une bijection On dit aussi que c'est une application bijective ou une relation biunivoque ou encore relation de terme à terme Représentation graphique : Il est souvent utile, et même parfois nécessaire de représenter graphiquement c'est à dire par un dessin, les valeurs prises par les images en fonction des valeurs de la variable. [...]

[...] Il roule régulièrement à la vitesse de 25 km/h pendant 2 heures. Il s'arrête pour se reposer pendant heure. Il repart et roule pendant 3 heures à la vitesse constante de 20 km/h. pour arriver chez son cousin où il reste déjeuner 1 heure. A quelle vitesse constante minimale doit-il rouler au retour pour être rentré avant 18 heures ? Facile ? Allons-y. Mais le problème ici est de construire le graphe de ce déplacement. [...]