Les fonctions définies par une intégrale

Résumé du document

Fiche de mathématiques niveau Maths Sup résumant les propriétés essentielles des fonctions définies par une intégrale : continuité et dérivabilité des fonctions intégrales, dérivabilité d'une intégrale non généralisée, continuité d'une intégrale généralisée.

Extraits

[...] f : , est une fonction CONTINUE sur , b]. ( t ) f ( t ) Alors la fonction g : I est intégrable sur tout intervalle contenu dans I. HYPOTHESES b ò a f ( t ).dt De plus on a pour tout intervalle Ì I : Cela revient à écrire : dæ b d b æ d ö òc g ( x).dx = òa çè ò c f ( t ).dx .dt . b æ d ö ö f ( t ).dt .dx = ç f ( t ).dx .dt . [...]

[...] est continue sur I. b òa f ( t ).dt Dérivabilité d'une intégrale généralisée HYPOTHESES I est un intervalle. a est un élément de R. b est un élément de R distinct de a . f : , est une fonction CONTINUE sur , b[. ( t ) f ( t ) On suppose que f admet une dérivée partielle CONTINUE sur x On suppose de plus qu'il existe deux fonctions y : , CONTINUES sur , vérifiant les deux conditions suivantes : t)ÎI´[a , : f ( t ) j ) et ii)Les intégrales b ò a j ).dt et ò a y ).dt sont CONVERGENTES. [...]

[...] a , b : J sont deux fonctions définies sur J . a)SI a et b sont continues sur J , ALORS la fonction j : x b ( x ) ò a ( x ) f ).dt est continue sur J . SI a et b sont de classe C 1 sur J , ALORS la fonction j : x b ( x ) "xÎJ : j = b x). f - a x). f ( . Continuité d'une intégrale non généralisée I est un intervalle. [...]

[...] Fonctions définies par une intégrale Un premier rappel HYPOTHESES I est un intervalle. a est un élément de I. f : I est une fonction CONTINUE sur I. Alors la fonction F : x x ò a f dt est de classe C 1 sur I et on a "xÎI : F = f ( . Un deuxième rappel I est un intervalle. a est un élément de I. f : I est une fonction CONTINUE sur I. a)Alors f admet une infinité de primitives sur I. [...]