Mathématiques : les développements limités

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les développements limités avec une série d'exercices corrigés pour mettre le cours en application.

Extraits

[...] Pour tout réel α montrer que l'équation sin(x)+x-α=0 admet une et une seule solution réelle que l'on notera x(α). Montrer que la fonction α ax(α) admet un développement limité d'ordre 5 à l'origine, que l'on déterminera α + ln(n) n k k Pour quelles valeurs de α peut on affirmer que la suite n aun sera monotone à partir d'un certain rang ? 19. Soit α un paramètre réel. Pour tout entier n on pose un= k = n 20. [...]

[...] Mais pour x non nul on obtient f = + x n sin n n n Il est clair que f' n'est pas continue en puisque la fonction cosinus n'admet pas de limite en + La fonction f' ne peut donc être dérivable en 0. La dérivée seconde de f en 0 n'existe pas Développements usuels. On sait que toute étude locale en un réel x0 peut se ramener à une étude au voisinage de l'origine grâce au changement de variable x=x0+h. Déterminer un développement limité à l'ordre n de f en x0 reviendra donc par l'intermédiaire de ce même changement de variable, à trouver un développement limité d'ordre n en 0 pour la fonction h a f(x0+h). [...]

[...] On va voir que cette équivalence n'est vraie que pour les valeurs élémentaires 0 et 1 de n. _ Pour n=0. Dire que f admet un développement limité d'ordre 0 en x0 revient à dire qu'il existe une constante a0 (polynôme de degré au plus telle qu'au voisinage de x0 : Puisque désigne ici simplement une fonction de limite nulle en x on en déduit que tend vers a0 lorsque x tend vers x Ainsi f admet une limite réelle en x0. [...]

[...] Il s'ensuit que f est strictement croissante sur R. Etant de plus continue, f réalisera donc une bijection entre l'ensemble des réels et l'intervalle ouvert dont les bornes seront les limites respectives de f en et + La fonction sinus étant bornée sur R est négligeable devant x au voisinage de l'infini, il s'ensuit que l'ensemble image de f sera exactement Si on note g la bijection réciproque de la seule solution x(α) de l'équation paramétrique sin(x)+x=α , pour α réel fixé, n'est donc autre que g(α). [...]

[...] k En effet on a vu en fin de cours sur la dérivation, que si f ( k ) ( x0 ) k borne supérieure de { f ( ( xk et si M est la ; x pourra être appoximée par P(x-x0) au voisinage de x0 avec une erreur contrôlée par la majoration suivante : n x x0 x : f ( x x0 ) M + On en déduit que l'écart entre et P(x-x0) est négligeable devant (x-x0)n au voisinage de x0. k ( x x0 ) k D'où le développement : f ( k ) ( x0 ) + k = Attention ! [...]