Les déterminants

Résumé du document

Fiche de cours de mathématiques niveau Math Sup sur les déterminants. Cette fiche résume les propriétés essentielles des déterminants et développe la notion de matrices semblables ainsi que ses propriétés.

Extraits

[...] On peut alors affirmer que l'on det( = det( : A et B ont le même déterminant. tr( = tr( : A et B ont la même trace. rg( = rg( : A et B ont le même rang. Une propriété sur les déterminants de matrices HYPOTHESES B et C sont trois matrices carrées d'ordre n. éA B ù ú . O C ë n û On définit la matrice carrée d'ordre 2n suivante : M = ê On a alors det(M ) = det( A).det(C ) . [...]

[...] a nn úû a n a 1 n a nn det(A) s'appelle le déterminant de la matrice A. Lien entre déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice HYPOTHESES E est un K‐espace vectoriel de dimension n. f est un endomorphisme de E. B est une base quelconque de E. On a alors : det( f ) = det[Mat(f, B Propriétés sur les déterminants de matrices HYPOTHESES A et B sont deux matrices carrées d'ordre n. a)On a det( AB . ) = det( A).det( . [...]

[...] f est un endomorphisme de E. Il existe alors un unique scalaire noté det( f ) ne dépendant que de f tel que l'on ait : r r Pour toute base B de E et pour tous vecteurs u u n de E : r r r r detB[ f ( u 1 ) f ( u n = det( f ).detB( u u n det( f ) s'appelle le déterminant de l'endomorphisme f. Propriétés du déterminant d'un endomorphisme HYPOTHESES E est un K‐espace vectoriel de dimension n. [...]

[...] f : E n est une application. r r r a)On dit que f est une forme n‐linéaire sur E si pour tout iÎ{ pour tous vecteurs u u i , v i r u n de E et pour tout scalaire a on a : r r r r r r r r r r r r r r r r r r f ui - a .ui + vi , ui + un ) = a . f ui - ui , ui + un ) + f ui - vi , ui + un ) . [...]

[...] Calcul d'un déterminant d'ordre n HYPOTHESES a a 1 n D = . a n est un déterminant d'ordre n a nn On note pour j)Î{ 2 D ij le déterminant d'ordre n - 1 obtenu à partir de D en lui retirant la i ème ligne et la j ème colonne. D ij s'appelle le mineur d'indices de D. On a alors les relations suivantes : n "jÎ{ : D = ème å j .a ij .D ij (Développement de D par rapport à la j colonne). [...]