La dérivation d'une fonction et la fonction exponentielle

Résumé du document

Cours complet sur la dérivation d'une fonction et la fonction exponentielle, chapitre important de Terminale Scientifique. Document complet au format "Acrobat Reader" (PDF). Document idéal pour approfondir ses connaissances et comprendre les points délicats. Ce document avec de nombreuses illustrations et des graphiques.

Extraits

[...] La limite du membre de droite est Donc celle du membre de gauche aussi. En d´duire la formule e lim xn exp = 0 9 R´sumons les propri´t´s g´n´rales de exp dans son tableau de variations e ee e e x exp 3 j O i 0 Notations Partant de la formule, que pour tout n entier relatif, exp = (exp x)n , nous voyons, en posant x = 1 que exp = (exp . On d´cide alors de poser e = exp 1 et on a la formule e exp = en On d´cide ` nouveau de noter, par convention, e a ex = exp pour tout r´el x. [...]

[...] On a alors la d´riv´e cherch´e qui est u e e e g f = af (ax + (D´river les fonctions du d´but de ce paragraphe). e e 2. On souhaite d´river la fonction h : x x2 + 1,x R. On commence par voir qu'il s'agit de la e compos´e de g : x x2 + 1 par f : x x. f est d´rivable en tout r´el de la forme g puisque e e e g (pourquoi?) et g est d´rivable sur R donc, pour x h est d´rivable en x. On calcule e e 1 . [...]

[...] Cette limite ´tant finie, e = f Posons lim f h φ = et donc f et c = f f h On a alors lim φ = lim φ + = lim f = 0 et on a de plus φ + f = f f f = f + φ d'o` f = f + f + φ u Exemples Consid´rons la fonction f : x + 1)2 2 et cherchons par exemple l'approximation affine de f en e 2. Calculons f f + f h = = + h + 1)2 2 + 1)2 2 h + 9 h2 + 6h = h h 2 Donc lim f + f c'est ` dire g : x 6x 12 + 7. soit finalement g : x 6x 5. La repr´sentation a e graphique de g est la tangente ` Cf au point d'abscisse 2. (tracez Cf et sa tangente pour vous convaincre a de l'efficacit´ du calcul). [...]

[...] e e D´montrez que x x + sin x est strictement croissante sur 2π] e Extremum global / extremum local Commencez par r´pondre ` ces quelques questions: e a 1. La fonction f : x x2 R admet elle un minimum sur R ? Sur ? Sur ? Sur ? Sur 2. Une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert admet-elle un maximum ou un minmum? 3. Soit f : x 3x5 15x4 + 25x3 15x2 + 1,x R Etudiez les variations de f sur R. [...]

[...] Calculons φ La fonction x exp est une compos´e de la fonction x et de la fonction exponentielle. La formule de come position donne alors (exp = exp Ainsi, φ = (exp exp (x)+exp (exp = 8 exp exp + exp exp = 0. La fonction φ est donc constante. Pour trouver sa valeur il suffit de calculer sa valeur en 0. Or, φ = exp exp = 1. Ainsi, φ = 1 pour tout r´el x. e Donc exp exp = 1 pour tout x. [...]