La dérivation de fonctions

Résumé du document

Cours de mathématiques de Terminale S portant sur la notion de dérivation de fonctions. Ce document comprend les définitions, les propriétés, les démonstrations et des exemples avec schémas nécessaires à la compréhension de ces notions.

Extraits

[...] ( est dérivable sur I. ( est dérivable sur tout intervalle ou u ne s'annule pas. ( est dérivable sur I et . ( est dérivable sur I et . Continuité et dérivabilité : Propriété : si f es une fonction dérivable sur un intervalle alors f est continue sur I. Démonstration : soit a un réel de f est dérivable en a équivaut à : Il existe une fonction telle que : et Donc f est continue en a. [...]

[...] ( La fonction cosinus est décroissante sur . ( La fonction sinus est croissante sur et décroissante sur . Fonction tangente : Définition : la fonction tangente est définie par pour tout x différent de Z. Quelques valeurs particulières : Propriété : pour tout la fonction tangente est donc périodique, de période . Propriété : pour tout la fonction tangente est donc impaire. Propriété : la fonction tangente est dérivable sur tout intervalle où elle est définie. ou encore Propriété : la fonction tangente est strictement croissante sur tout intervalle où elle est définie. [...]

[...] Dérivation : Nombre dérivé, fonction dérivée : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et h deux réels tels que a+h I. On dit que f est dérivable en a lorsque : Lorsque f est dérivable en tous points de on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f Dérivées usuelles : Tangente et approximation affine : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle la tangente à la courbe représentative de f en A ; a pour coefficient directeur f'(a). [...]

[...] ; ; Les fonctions polynômes sont dérivables sur R Les fonctions rationnelles sont dérivables partout où leur dénominateur ne s'annule pas Dérivée de la composée de deux fonctions : Soit f une fonction composée f = v u alors avec u dérivable sur un intervalle I et v dérivable pour tout x de I : f'(x)=u'(x) (v' Principe de démonstration : Soit un réel de I on note et , on suppose ( u est dérivable en donc : ( et u est continue (parce que dérivable). Donc ( car v est dérivable en tout u(x). D'où On a donc : soit u une fonction définie sur un intervalle I. [...]

[...] Si f est décroissante sur alors f' est négative sur I. De même : Si f'est nulle alors f est constante sur I. Si, pour tout x de f'(x) est positive, sauf pour éventuellement un nombre fini de points où f'(x) s'annule, alors f est strictement croissante. Si, pour tout x de f'(x) est négative, sauf pour éventuellement un nombre fini de points où f'(x) s'annule, alors f est strictement décroissante. Calcul de limite : si f est dérivable en a alors : = f'(a). [...]