Cours de mathématiques sur la théorie de la dimension

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la théorie de la dimension, illustré par une vingtaine d'exercices types : systèmes libres, espaces de dimension finie, dimension et morphismes d'espace, rang d'un système.

Extraits

[...] Compléments et remarques sur la définition. _ Lorsqu'il peut y avoir ambiguïté au sujet du corps sur lequel est construit l'espace vectoriel on précisera système K-libre. Ainsi le système de complexes est R-libre mais n'est pas C-libre. En effet la combinaison linéaire x.1+y.i=0 entraîne la nullité des deux coefficients x et y lorsque ceux-ci sont supposés réels mais peut être réalisée avec un jeu de complexes non nuls (ex : x=i ; Remarquons que tout système C-libre sera nécessairement R-libre. [...]

[...] Notons qu'elle fait apparaître une application x définie sur le produit cartésien à valeurs dans K avec pour la composante suivant ei dans la base B du vecteur uk. Cette application sera souvent résumée à l'aide d'un tableau à double entrée constitué de n lignes et p colonnes et dont l'élément générique situé à la croisée de la ligne i et de la colonne k sera précisément . Ce tableau sera appelé matrice des composantes des vecteurs du système S dans la base B (ou plus simplement matrice de S dans B Sa colonne d'ordre k notée Ck représente dans l'ordre les composantes de uk dans la base B . [...]

[...] On pourra donc si b(0 échanger u1 et u3 ce qui nous ramène à la situation précédente avec encore la conclusion S' lié. De même si b=0 mais d(0 on échangera u2 et u3. Reste le pire des cas où y=b=d=0. Mais dans cet état les trois vecteurs de S' sont multiples du seul vecteur e1. S' est alors lié puisque extension du système u2) lui même lié d'après l'étude faite pour n=1. Plus généralement, supposons la propriété établie pour un certain entier n (2. [...]

[...] Nous allons montrer que tout supplémentaire G de F dans E est de dimension au plus 2. Pour cela, soient z trois vecteurs de G. D'après l'hypothèse E on peut les écrire sous la forme avec f1, f2, f3 éléments de F. Les vecteurs x-f1, y-f2, z-f3 sont alors élément du plan P donc nécessairement en situation de dépendance linéaire. On peut donc trouver un triplet de réels non identiquement nul, soit tel que : f1)+b(y-f2)+c(z-f3)=0E En développant on peut écrire ax+by+cz=af1+bf2+cf3 égalité dont le premier membre est situé dans le sous-espace G et le second membre appartient à F. [...]

[...] Pour tout vecteur y de F on pourra dire que admet au moins un antécédent x pour g donc s'écrira g f(x). On en déduit l'existence d'un vecteur n de Ker(g) pour lequel f(x)+n. Ainsi F coïncide avec la somme des deux sous-espaces Im(f) et Ker(g). _ Si F=Im(f)+Ker(g). Tout élément de Im(g) est par définition du type avec y vecteur de F donc pouvant se décomposer par hypothèse en somme avec x(E et n(Ker(g). Par linéarité de g on en déduit : g g f(x). Ainsi z appartient à Im(g f). [...]