Cours complet de mathématiques supérieures

Résumé du document

Cours de mathématiques pour Ecole Préparatoire Scientifique MPSI ou PTSI, également utile pour la première année d'université. Ce cours est remarquablement mis en forme par de nombreux schémas en couleur et des exemples, le rendant ainsi très clair.

Extraits

[...] Si = la courbe C est une parabole, une droite, la r´eunion de deux droites parall`eles ou l'ensemble vide. Remarque 52. Le th´eor`eme pr´ec´edent fournit un algorithme pour d´eterminer la nature de la courbe C : ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 et pr´eciser son ´equation r´eduite : 1. Calculer le discriminant = ac b2 et T = a + c. Selon le signe de on peut sans calcul pr´eciser le type de la courbe Si par un changement du centre du rep`ere d´efini par les formules ( x +α y +β se d´ebarrasser des termes lin´eaires en x et y pour aboutir une ´equation : ax2 + 2bxy + cy 2 = F α Le centre du nouveau rep`ere est Ω . [...]

[...] efinition 1.15 : Famille de parties Soit un ensemble E et un ensemble I. On d´efinit une famille de parties de E : (Ai u I,Ai Et l'on note \ Ai = E tq x Ai } [ Ai = E tq x Ai } Exemple 7. Si E = R et pour k Ak = d´eterminez les ensembles [ \ Ak et Ak Exercice 1-14 Soit un ensemble E et une famille de parties de (Ai . Montrer que : \ Ai = \ Ai ) [ Ai = \ Ai ) Exercice 1-15 Soit une application f : E F et une famille de parties de F , (Bi . [...]

[...] Si vn ou alors si vn , et si vn βn , montrer que un ln(βn ) ; 3. Si vn ´ecrire " un = ln 1 + (vn et utiliser l'´equivalent usuel du logarithme. Exercice 9-28 Trouver un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral un = ln(n2 + 2n ) Exercice 9-29 Trouver un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral un = ln(n2 + ln(n2 + Exercice 9-30 Trouver un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral un = ln en2 + 1 n2 + n cos(1/n) Chapitre 10 Fonctions d'une variable eelle 10.1 Vocabulaire On suppose que les fonctions qui interviennent ici sont d´efinies sur un intervalle I de R. [...]

[...] En un point (t0 ,y0 ) du plan on repr´esente un vecteur de pente f (t0 ,y0 Alors un point (t0 ,y(t0 d'une courbe int´egrale de le champ de vecteurs sera tangent la courbe. C'est l'id´ee de la m´ethode d'Euler t Curve 1 Curve 2 Fig Champ de vecteurs et courbes int´egrales efinition 4.4 : Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre Soit I un intervalle de R et trois fonctions continues sur I valeurs dans R ou dans C. On dit qu'une fonction : I R (ou est une solution de l'´equation diff´erentielle a(t)y + b(t)y = si: 1. y est une fonction d´erivable sur I ; 2. [...]

[...] Il existe des fonctions born´ees non-int´egrables. Par exemple la fonction caract´eristique des rationnels sur d´efinie par R ( 1 si x Q χ: x 0 si x Q En effet, on montre que I 0 et I + 1. eor` eme 15.6 : Int´ egrale d'une fonction continue par morceaux Soit une fonction f continue par morceaux sur le segment La fonction f est int´egrable sur eor` eme 15.7 : Approximation de l'int´ egrale d'une fonction continue Soit une fonction f continue par morceaux sur Alors il existe une suite (ϕn ) de fonctions en escalier telle que dn = kf ϕn = sup f ϕ(x) 0 Pour toute suite (ϕn ) de fonctions en escalier v´erifiant cette condition, on a : Z Z ϕn f On peut alors ´etendre les propri´et´es de l'int´egrale aux fonctions continues par morceaux : eor` eme 15.8 : Propri´ es fondamentales de l'int´ egrale 1. [...]