Cours de mathématiques : les suites de nombres réels

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les suites, illustré par de nombreux exemples.

Extraits

[...] La somme de deux suites convergeant vers 0 converge vers 0. Leur importance est due à l'équivalence si et seulement si . Exemples fondamentaux (à connaître) : F : Produit d'une suite bornée et d'une suite convergeant vers 0 Si converge vers 0 et est bornée alors converge vers 0. En particulier, le produit d'un réel par une suite convergeant vers 0 converge vers 0. remarque : d'après et , l'ensemble des suites convergeant vers 0 est un espace vectoriel sur . [...]

[...] C : Opérations sur les suites Soient et deux suites de nombres réels et un nombre réel. La suite de terme général se nomme la somme des deux suites et , on note : , addition dans et + addition dans . La suite de terme général se nomme le produit des deux suites et , on note : , produit dans . La suite de terme général se nomme le produit de la suite par le réel . Lorsque , la suite de terme général se nomme le quotient de la suite par la suite . [...]

[...] On dit que diverge vers si, pour tout nombre réel , il existe un entier tel que, pour tout entier , la relation implique la relation . Ecriture en langage symbolique : admet pour limite lorsque : . Notation : , ou . On dit que converge vers . est convergente lorsque : . diverge vers lorsque : . Notation : , ou . diverge vers lorsque : . Notation : , ou . Exemple : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels B : Propriété I Lorsque , la relation équivaut à . C : Propriété II Toute suite convergente est bornée. [...]

[...] Soient et deux suites de nombres réels. Si diverge vers et est minorée, alors . En particulier : et . Si diverge vers et est minorée par un nombre strictement positif, alors . En particulier : et H : Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre Passage à la limite dans les inégalités Soient et deux suites de nombres réels convergentes. Si , alors . idée de la preuve : supposer que Théorème d'encadrement Soient , et trois suites réelles telles que : et et convergent vers une même limite , alors converge aussi vers . [...]

[...] L'ensemble des suites de nombres réels est noté ou . Extension : donné, est une suite définie à partir du rang signifie que , on la note . Exemples : Suite définie de manière explicite ( en fonction de ) Exemple : définie par : . Suite définie par itération ( donné et en fonction de Exemples : définie par : et (suite arithmétique de premier terme et de raison définie par : et (suite géométrique de premier terme et de raison définie par : et . [...]