La théorie des probabilités a eu historiquement pour premier objectif de modéliser des jeux de hasard, pour ensuite étudier des expériences aléatoires variées et plus complexes. Les progrès technologiques actuels requièrent beaucoup de modélisations probabilistes, c'est le cas notamment en finance et en biologie. En même temps, de plus en plus de données complexes et variées sont stockées sur les ordinateurs. On voudrait traiter ces grosses quantités de données, pour en extraire une information utile, ce qui requiert des méthodes statistiques complexes. En outre, beaucoup d'algorithmes utilisent des tirages aléatoires. C'est dire que l'on besoin d'enseignants, de chercheurs et d'ingénieurs ayant une solide compétence dans le domaine de l'aléatoire. La théorie de probabilités modélise des expériences où plusieurs issues sont possibles, la réalisation n'étant pas déterminée à l'avance, par exemple un lancer de dés, la roulette au casino, l'évolution du cours d'une action à la bourse, le chromosome transmis par un père à son fils... Ceci en vue notamment d'évaluer les risques de paris et de mettre sur pieds des stratégies pour faire face aux aléas. La théorie des probabilités ne va pas permettre de prédire quelle issue va se réaliser, mais quelle chance a chaque issue de se réaliser. Le but des mathématiques financières n'est pas de gagner plus d'argent en spéculant mieux, mais de se prémunir contre le risque inhérent aux investissements en bourse.
[...] La démarche statistique
Quelques exemples
Le but de la statistique est de traiter des données pour en déduire des informations sur des quantités mal connues. Elle se préoccupe aussi du recueil des données (sondages, plans d'expériences), mais nous n'aborderons pas cet aspect. Les données que traite la statistique sont extrêmement variées. Les questions auxquelles la statistique cherche à donner des réponses sont de plusieurs types, comme nous allons le voir sur les quelques exemples qui suivent.
Exemple 1. Pile ou face On joue à Pile ou Face avec une pièce pas nécessairement équilibrée. Au vu des résultats de n coups, on veut estimer la probabilité p d'obtenir Pile à chaque coup. On peut aussi vouloir tester si oui ou non la pièce est équilibrée (p = 1/2).
Exemple 2. Pollution On dispose d'appareils de mesure de la pollution (ozone, CO2, etc.), qui donnent des mesures instantanées de la pollution en divers emplacements d'une ville ou d'un département. Au vu de ces mesures, il faut décider à quel moment on déclenche certains types d'alerte (réduction de la vitesse automobile par exemple). (...)
Sommaire
Chapitre 1 : Espace des Issues, Probabilité, Variable Aléatoire
A. Motivation B. Espace des issues C. Probabilité D. Variable Aléatoire E. Espérance F. Variance et écart-type G. Quelques lois de probabilité 1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi de Poisson 4. Loi géométrique 5. Loi binomiale négative 6. Loi hypergéométrique H. Appendice
Chapitre 2 : Conditionnement et Indépendance
A. Conditionnement B. Indépendance
Chapitre 3 : Fonctions génératrices
A. Le cas X à valeurs dans {0, 1, . . . ,M} B. Le cas X à valeurs dans IN C. Fonctions génératrices et indépendance 1. Fonction génératrice d'une somme de v. a. indépendantes 2. Compléments D. Somme d'un nombre aléatoire de v. a.
Chapitre 4 : Théorèmes limites
A. Loi des grands nombres B. Convergence vers la loi de Gauss C. Deux autres théorèmes limites 1. Convergence vers la loi uniforme sur [0, 1] 2. Convergence vers la loi exponentielle
Chapitre 5 : Lois absolument continues
A. Espace de probabilité B. Variables aléatoires C. Indépendance D. Théorèmes limites
Chapitre 6 : La démarche statistique
A. Quelques exemples B. Problème d'estimation C. Problèmes de test d'hypothèse D. Formulation mathématique
Chapitre 7 : Estimation
A. Méthode des moments B. Maximum de vraisemblance C. Estimation par intervalle 1. Intervalle de confiance pour le résultat d'un sondage 2. Intervalle de confiance pour la moyenne d'un échantillon gaussien de variance connue 3. Intervalle de confiance pour la moyenne d'un échantillon gaussien de variance inconnue
Chapitre 8 : Tests d'hypothèse
A. Test entre deux hypothèses simples 1. Deux types d'erreur 2. Le test entre deux hypothèses simples dans le jeu de Pile ou Face 3. Test du rapport de vraisemblance B. Test entre hypothèses multiples 1. Test entre une hypothèse simple et une alternative multiple 2. Test entre deux hypothèses multiples C. Essai clinique : test de comparaison D. Test portant sur la moyenne d'un échantillon gaussien E. Test portant sur la variance d'un échantillon gaussien F. Test du X² 1. Ajustement à une loi 2. Ajustement à une famille de lois
Annexe : Tables des lois de probabilité usuelles - Loi normale : fonction de répartition - Loi normale : quantiles - Loi du X² : quantiles - Loi de Student : quantiles
Chapitre 1 : Espace des Issues, Probabilité, Variable Aléatoire
A. Motivation B. Espace des issues C. Probabilité D. Variable Aléatoire E. Espérance F. Variance et écart-type G. Quelques lois de probabilité 1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi de Poisson 4. Loi géométrique 5. Loi binomiale négative 6. Loi hypergéométrique H. Appendice
Chapitre 2 : Conditionnement et Indépendance
A. Conditionnement B. Indépendance
Chapitre 3 : Fonctions génératrices
A. Le cas X à valeurs dans {0, 1, . . . ,M} B. Le cas X à valeurs dans IN C. Fonctions génératrices et indépendance 1. Fonction génératrice d'une somme de v. a. indépendantes 2. Compléments D. Somme d'un nombre aléatoire de v. a.
Chapitre 4 : Théorèmes limites
A. Loi des grands nombres B. Convergence vers la loi de Gauss C. Deux autres théorèmes limites 1. Convergence vers la loi uniforme sur [0, 1] 2. Convergence vers la loi exponentielle
Chapitre 5 : Lois absolument continues
A. Espace de probabilité B. Variables aléatoires C. Indépendance D. Théorèmes limites
Chapitre 6 : La démarche statistique
A. Quelques exemples B. Problème d'estimation C. Problèmes de test d'hypothèse D. Formulation mathématique
Chapitre 7 : Estimation
A. Méthode des moments B. Maximum de vraisemblance C. Estimation par intervalle 1. Intervalle de confiance pour le résultat d'un sondage 2. Intervalle de confiance pour la moyenne d'un échantillon gaussien de variance connue 3. Intervalle de confiance pour la moyenne d'un échantillon gaussien de variance inconnue
Chapitre 8 : Tests d'hypothèse
A. Test entre deux hypothèses simples 1. Deux types d'erreur 2. Le test entre deux hypothèses simples dans le jeu de Pile ou Face 3. Test du rapport de vraisemblance B. Test entre hypothèses multiples 1. Test entre une hypothèse simple et une alternative multiple 2. Test entre deux hypothèses multiples C. Essai clinique : test de comparaison D. Test portant sur la moyenne d'un échantillon gaussien E. Test portant sur la variance d'un échantillon gaussien F. Test du X² 1. Ajustement à une loi 2. Ajustement à une famille de lois
Annexe : Tables des lois de probabilité usuelles - Loi normale : fonction de répartition - Loi normale : quantiles - Loi du X² : quantiles - Loi de Student : quantiles
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