Cours sur les applications du produit scalaire

Résumé du document

Ce document est un cours complémentaire du cours intitulé "Produit scalaire". Il regroupe toutes les applications du produit scalaire et permet la démonstration de nombreux nouveaux théorèmes, de nombreuses nouvelles formules trigonométriques et autres. On y trouve également deux méthodes simples et détaillées pour déterminer l'équation d'une droite dans un repère, ainsi que deux autres méthodes pour déterminer l'équation d'un cercle dans un repère. Bien sûr, toutes ces démonstrations se font au moyen d'exemples qui illustrent chaque théorème et chaque formule. Tous ces théorèmes et formules sont à connaître et à maîtriser parfaitement. C'est un cours assez long qui nécessite l'acquisition totale des bases du produit scalaire, mais ce n'est pas un cours extrêmement compliqué.

Extraits

[...] = 0 + + + = 0 x + 2x 2 + + 3y y 3 = 0 + + x + 2y 5 = 0 Cette relation est une équation du cercle Remarque : Un cercle a une équation de la forme : + + ax + by + c = 0 où b et c sont des réels. Les coefficients de et sont égaux. III- Relations métriques dans le triangle Théorème de la médiane Dans le triangle quelconque AMB ci-dessous, est une médiane. On souhaite démontrer l'égalité suivante : + = 2 + 1/2 AB². [...]

[...] En utilisant la formule des sinus : - Calculons d'abord la longueur BC. D'après le théorème d'Al Kashi, on a : = + 2 AB AC cos = + 2 2 5 cos = 4 + 25 20 1/2 = 29 10 = 19 BC = - Calculons maintenant la mesure de l'angle . D'après la formule des sinus : AB = BC = AC = sin sin sin 2 = = 5 = sin sin sin sin = 5 sin sin = 5 sin = 5 = = Donc : B En utilisant le théorème d'Al Kashi : D'après le théorème d'Al Kashi, on a : = + 2 AB BC cos = + 2 2 cos 25 = 4 + 19 cos 25 = 23 cos D'où : cos = 25 23 = 2 = Donc : B Remarque : La mesure de l'angle n'est pas la même selon que l'on utilise la formule des sinus ou bien le théorème d'Al Kashi. [...]

[...] Le point I est le milieu de ce segment [AB]. Objectif : On souhaite déterminer l'ensemble des points M tel que + = 17. + = 17 donc 2 + 1/2 = + 1/2 = + 1/2 = + 9/2 = = 17 = 34/2 = 25/2 = 25/2 1/2 = 25/4 Donc : MI = = 5 L'ensemble cherché est donc le cercle de centre I et rayon Triangle rectangle : rappels Dans le triangle ABC rectangle en A ci-dessus, on a les égalités suivantes : = + (d'après le théorème de Pythagore) cos = côté adjacent = AB hypoténuse BC sin = côté opposé = AC hypoténuse BC tan = côté opposé = AC côté adjacent AB Triangle quelconque et théorème d'Al Kashi Dans un triangle quelconque ABC, on souhaite exprimer la longueur BC en fonction des longueurs AC et AB. [...]

[...] sin (π/12) = sin (π/4 π/6) = sin π/4 cos π/6 cos π/4 sin π/6 = = Exemple 2 : On souhaite calculer cos (π/12). cos (π/12) = cos (π/4 π/6) = cos π/4 cos π/6 sin π/4 sin π/6 = + = + Conséquences cos 2a = cos + = cos a cos a sin a sin a = cos² a sin² a On sait que : cos² a + sin² a = 1 Donc : sin² a = 1 cos² a Ou : cos² a = 1 sin² a On en déduit que : cos 2a = cos² a sin² a = cos² a cos² = cos² a 1 + cos² a = 2 cos² a 1 Ou : cos 2a = cos a sin² a = sin² sin² a = 1 sin² a sin² a = 1 2 sin² a sin 2a = sin + = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a Formules à connaître * cos 2a = cos² a sin² a * cos 2a = 2 cos² a 1 * cos 2a = 1 2 sin² a * sin 2a = 2 sin a cos a Exemple : On souhaite calculer cos π/8. [...]

[...] (C') est le cercle de diamètre [AB]. Objectif : On souhaite déterminer l'équation du cercle (C'). Soit M le point de coordonnées ; appartenant au cercle (C'). Comme est le diamètre du cercle, le triangle ABM est donc un triangle rectangle ce qui revient à dire que le produit scalaire . est nul. - Le vecteur a pour coordonnées + 2 ; y 1). [...]