Cours de mathématiques sur la loi de probabilité à densité

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Cours de mathématiques, loi de probabilité à densité, loi exponentielle, durée de vie, loi normale centrée réduite, loi normale d'espérance, variable aléatoire, théorème de Moivre-Laplace

Résumé du document

Nous pouvons commencer par quelques définitions. Tout d'abord, une variable aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle I de R. On s'intéresse alors à des événements du type "la valeur de X est comprise entre les réels a et b de I". De même, on appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I et vérifiant : f est continue et positive sur I. L'aire sous la courbe de f est égale à 1.

Extraits

[...] La fonction de répartition ( de la variable aléatoire X est définie par : pour tout réel Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0,1). Pr tous réels a et Théorème : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale alors que pour tout réel il existe un unique réel Remarque : Cas particuliers : Il n'existe pas de formules exprimant en fonction de On utilise un tableur ou une calculatrice. ↦ Cas où : Le nombre ↦ Cas où : Le nombre Une variable aléatoire suivant la loi prend 99% de ses valeurs entre -2,58 et 2,58. [...]

[...] Le paramètre ( de la loi est un paramètre de dispersion : il correspond à l'écart-type. [...]

[...] Densité de probabilité : On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I et vérifiant : f est continue et positive sur I. L'aire sous la courbe de f est égale à 1 à savoir : Remarque : Loi de probabilité à densité : On définit la loi de probabilité P de densité f sur l'intervalle I de R en posant, pour tous réels a et b de I avec où D est le domaine sous la courbe de f sur l'intervalle à savoir : Propriétés Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivnt une loi de probabilité de densité f sur I Pour tous réels On a donc : Pr ts intervalles J et K inclus dans on a : Si J' est le complémentaire de J dans alors Si J et K sont inclus dans I avec , alors : Loi uniforme sur Définition : On appelle loi uniforme sur , la loi de probabilité dont la densité f est la fonction constante égale à Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur . [...]

[...] Théorème de Moivre-Laplace : Soit . Soit une variable aléatoire qui suit la loi Binomiale et alors pour tous réels a et b tels que a ( on a : Autrement dit, pour de grandes valeurs de la loi binomiale est très proche de la loi normale de même espérance np et de même variance Espérance et variance: Soit X une variable aléatoire suivant la loi N(0,1). L'espérance de X est définie par : Variance de X : Propriété : Si X suit la loi normale alors et III. [...]

[...] Loi exponentielle =durée de vie Définition : Soit ( un réel strictement positif. On appelle loi exponentielle de paramètre la loi de probabilité dont la densité de probabilité f est la fonction définie sur Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre Pour tout intervalle inclus dans , Propriété : L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre ( ( 0 est : Propriété : Pour tous nombres positifs t et s : Remarque : La loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement. [...]