Mathématiques : les limites et comportements asymptotiques

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques sur les limites et les asymptotes qui leur sont associées, destiné aux élèves de 1ère S principalement. C'est un cours particulièrement simple à comprendre et à intégrer grâce, notamment, aux nombreux exemples qui illustrent chaque théorème, chaque définition. La mise en page est claire, soignée et surtout aérée, ce qui facilite également la compréhension et l'intégration de ce chapitre qui constitue l'un des plus importants chapitres du programme. Ce cours tel qu'il est agencé m'a permis d'obtenir des notes correctes allant de 16 et 17 pour les devoirs surveillés jusqu'à 20 pour les deux devoirs maison qui faisaient appel aux acquis de ce chapitre.

Extraits

[...] 3x2 + 1 Objectif : On souhaite déterminer lim x et lim x f(x). lim x x/3x2 = lim x 1/3x = 0 donc lim x = 0 lim x x/3x2 = lim x 1/3x = 0 donc lim x = 0 ATTENTION : lim x 0 lim x 0 x/3x2 lim x + x = 2 + 0 = 2 lim x 0 3x2 + 1 = 3 02 + 1 = 1 ( Par quotient, lim x 0 = 2. [...]

[...] Pour déterminer le signe de la limite de il suffit d'étudier celui du dénominateur. Etudions le signe de x2 + 3x : Ce tableau de signes nous permet d'établir que la fonction f n'admet non pas une limite en mais une limite à gauche ET une limite à droite en 0. D'après le tableau de signes : lim x 0 x2 + 3x = et lim x 0 x2 + 3x = x 0 On a toujours lim x 0 x + 1 = 0 + 1 = 1 ( Par quotient, lim x 0 = et lim x 0 = + x 0 Limite en 3 lim x 3 x + 1 = 3 + 1 = 2 lim x 3 x2 + 3x = 3)2 + 3 = 9 9 = 0 ( Par quotient, lim x 3 = Nous savons que lorsque x tend vers la limite de est l'infini mais on ignore encore le signe. [...]

[...] lim x = + lim x x = + ( Par quotient, lim x + = ? On ne peut pas conclure. Pour trouver la limite en + de la fonction il est donc nécessaire de transformer de manière à obtenir une fonction inverse et non plus un quotient : = = = 1 n lim x = + lim x 1 = 0 ( lim x = 0 Exemple 2 : Soit la fonction f définie par = x2 + x 2 sur x 1 Objectif : On souhaite déterminer lim x 1 f(x). [...]

[...] On ne peut pas conclure. Pour trouver la limite en de la fonction il est donc nécessaire de transformer : = 2x2 + 3x 1 = 2x2 + 3x 1 ) = 2x2 + 3 1 ) 2x2 2x2 2x 2x2 lim x 3 = 0 2x lim x 1 = 0 2x2 ( Par somme, lim x 1 + 3 1 = 1 2x 2x2 lim x 2x2 = + lim x 1 + 3 1 = 1 2x 2x2 ( Par produit, lim x = + Remarques : lim x = lim x 2x2 = + Lorsque x tend vers + on retrouve lim x = lim x 2x2 = + ►Théorème admis : La limite en + ou en d'un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré. [...]

[...] + Objectif : On souhaite déterminer lim x 1 f(x). lim x 1 + = lim x = + + ( lim x 1 = (car, pour obtenir on multiplie 1 par 3 qui est négatif) + Remarque : Il ne faut pas confondre x tend vers 1 et x = 1 Il faut toujours garder à l'esprit que lorsque x tend vers un certain nombre, il n'est pas pour autant égal à ce nombre. Ici, x tend vers 1 mais cela ne signifie pas que x = ; il peut avoir une valeur un peu plus grande ou un peu plus petite. [...]