Cours de mathématiques sur les limites

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les limites, illustré par une vingtaine d'exercices types corrigés sur la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Pour le comportement au voisinage de ou - ( il suffit pour P polynôme non constant d'effectuer la factorisation : pour en déduire en invoquant à nouveau les théorèmes sur les sommes et produits que : . On démontre également que la limite d'une fraction rationnelle en une borne infinie est égale à la limite en cette même borne du quotient du terme dominant de son numérateur par le terme dominant du dénominateur. Racines n-ièmes. _ Pour tout entier n au moins égal à on connaît la formule de factorisation : an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+ . [...]

[...] Ceci étant possible quelque soit on peut conclure suivant la définition générale que f ( tend vers l en t0. Application à un constat de non existence de limite en un point. Concernant cette situation on a vu précédemment une technique reposant sur l'étude des restrictions. Le théorème de composition établi ci dessus donne facilement une autre méthode pour établir la non existence d'une limite pour une fonction f en un point x0 adhérent à son ensemble de définition J. On procède encore par l'absurde. [...]

[...] Si l est une limite infinie, il n'est pas nécessaire de disposer d'un encadrement complet de f mais seulement de la minoration dans le cas où et de la majoration seule si on sait que Les preuves de ces variantes sont évidentes, il suffit d'adapter la démonstration ci-dessus. Théorèmes de limite monotone. Avant d'énoncer ces résultats fondamentaux, rappelons et précisons certaines notions fondamentales concernant la comparaison des réels. Majorant d'une partie J de R : On appelle ainsi tout réel M supérieur ou égal à chacun des éléments de J. [...]

[...] Dans la pratique on renverra donc fréquemment les études locales proposées à une analyse à l'origine 0 où sont donnés les développements des fonctions usuelles. Fonctions équivalentes et fonctions de limites égales en un point. Ces deux notions ont des liens mais sont loin d'être synonymes ! Ainsi deux fonctions tendant vers en x0 n'ont aucune raison de voir leur quotient tendre vers de même si ces deux fonctions sont de limite nulle au point d'étude. Dans les situations envisagées nous sommes en effet dans les cas d'indétermination du quotient et les contre-exemples sont légion. [...]

[...] On en déduit que toute somme du type ) sera aussi une somme du genre ) donc un ) Au voisinage de 3x de limite nulle est négligeable devant ln(x) qui tend vers On a donc ln(x)-3x du type équivalent à ln(x). Au voisinage de on sait que ln(x) est négligeable devant x . Ainsi ln(x)-3x est du type -3x -3x. En x7-1 tend vers le réel donc est équivalent à cette limite réelle non nulle. _ Au voisinage de x7-1 est du type x7+o(x7) ( x7 _ Au voisinage de la factorisation x7-1=(x-1)(x6+x5+x4+x3+x²+x+1) entraîne l'équivalence : x7-1(7(x-1) car le facteur x6+x5+x4+x3+x²+x+1 tend vers 7 au point 1. [...]