Cours de mathématiques sur les isométries vectorielles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les isométries vectorielles, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] _ Pour un vecteur v de composantes , y , dans B sera invariant si et seulement si : On en déduit que l'ensemble des invariants est la droite dirigée par u=e2+2e3. L'isométrie g est donc une rotation. Pour préciser son angle ( orientons la droite précédente à l'aide du vecteur unitaire et considérons un vecteur orthogonal à l'axe ainsi défini, soit par exemple x=e1. On sait que l'image d'un tel vecteur par la rotation g est donnée par : g(x)=cos(().x+sin(().n(x . Or ici . On en déduit grâce aux formules classiques : et 2. Le vecteur est unitaire et orthogonal au plan P. [...]

[...] En effet, de a=cos(()e1+sin(()e2 on tire facilement d'après la formule précédente : u(e1)=2cos(()a-e1=cos(2()e1+sin(2()e2 et u(e2)=2sin(()a-e2=sin(2()e1- cos(2()e2 Ainsi, la matrice de u dans B est : Attention, ( n'est pas fixe mais dépend de la base choisie. Par exemple si le vecteur e1 est sur l'axe de symétrie, on aura : . Si on utilise la représentation des vecteurs par les complexes, l'image par u d'un vecteur d'affixe z dans la base B sera le vecteur d'affixe . Remarquons pour conclure que toute symétrie orthogonale par rapport à une droite inverse les angles orientés de vecteurs. Il suffit de remarquer que pour tout couple de vecteurs non nuls de on a les relations : . [...]

[...] On donnera alors naturellement à u le nom de rotation d'axe ( orienté par n et d'angle ( et on emploiera souvent la notation Etudions plus en détail ces transformations. Représentation matricielle. Si on poursuit l'explicitation vectorielle précédente de l'image d'un vecteur quelconque, on obtient : Ainsi ( v(E : . Si on note la matrice des composantes de n dans une base orthonormée directe B , on sait alors que la matrice de p dans B égale N.tN. et que celle de l'endomorphisme v est : . La matrice représentant la rotation précédente u dans B sera donc égale à : B=cos(()I3+sin(()A+(1-cos(()N.tN. [...]

[...] Montrer que ( E(E : Montrer que f est linéaire. Les résultats précédents sont ils encore assurés si on supprime l'hypothèse f(0E)=0E ? 9. Soit B une base orthonormée directe de l'espace Euclidien E . On note f l'endomorphisme de E tel que ; ; Déterminer Ker(f) et Im(f) On pose . Déterminer e2 et e3 satisfaisant aux contraintes suivantes : e2, e3) est une base orthonormée directe de e3 est élément de Ker(f) et de composantes dans B positives. [...]

[...] Suivant la technique précédente développons Ici encore la conservation de la norme et du produit scalaire par f transforment ce qui précède en : On a donc bien également , ce qui termine la preuve de la linéarité de f. L'hypothèse f(0E)=0E est indispensable. En effet prenons par exemple une application f définie sur E par x ( avec u isométrie de E et a vecteur non nul fixé dans E. Une telle application conserve de manière évidente la distance mais n'est pas linéaire La matrice représentant f dans la base B est . [...]