Cours de mathématiques sur l'intégration

Résumé du document

Cours de mathématiques sur l'intégration, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Convention sur l'inversion des bornes. Si f est une fonction en escalier ou une fonction continue sur on conviendra de noter par l'opposé de l'intégrale de f sur b]. On l'appellera alors intégrale de f de a vers b ou de a à b. L'intérêt de cette notation est de pouvoir écrire la relation de Chasles sans se préoccuper de l'ordre des points. On vérifie en effet sans problème qu'avec la convention précédente, la relation de Chasles est vérifiée quel que soit l'un des 6 ordres possibles d'un triplet de points d'un intervalle I sur lequel f est continue. [...]

[...] Le même argument nous donne alors l'inégalité : ( En résumé, pour tout couple ) ‘encadrant' f sur on peut écrire un encadrement correspondant sur les intégrales : ( ( ( Intégrale d'une fonction continue sur un segment. On va prouver en fait qu'intégrales supérieure et inférieure sont confondues. Il suffit pour cela de montrer que l'étau schématisé par l'encadrement ci-dessus peut se resserrer autant que voulu, c'est à dire que quel que soit la précision réelle ( donnée on pourra toujours trouver un couple ) pour lequel - . [...]

[...] Si la linéarité se conserve de manière quasi-évidente lors d'une inversion des bornes (composition avec la symétrie linéaire x ( la ‘positivité' de l'intégrale va devenir naturellement une ‘négativité' avec pour conséquence une inversion des inégalités dans tout passage à l'intégrale. Attention donc à l'ordre des bornes dans toute étude comparative d'intégrales. Cependant les avantages l'emportent largement sur les inconvénients, on s'en persuadera dans la suite du cours et la pratique des activités. PRIMITIVES DEFINIES PAR UNE INTEGRALE. Existence de primitives pour les fonctions continues. [...]

[...] Introduction. Un des objectifs essentiels de ce chapitre est de montrer que toute fonction f à valeurs réelles continue sur un intervalle I de R admet des primitives sur cet intervalle, c'est à dire qu'il existe des fonctions F telles que le nombre dérivé en tout point x de I soit F'(x)= f(x). La théorie de la dérivation nous dit que deux fonctions définies sur un même intervalle ont des dérivées identiques si et seulement si elles diffèrent d'une constante. [...]

[...] Reprenons alors le schéma précédent. L'étude à ‘gauche' de c=b est toujours valable. Ainsi on aura encore sur un intervalle du type la relation par continuité à gauche en c. De même il existe toujours une fonction ( en escalier sur approchant f à ( près pour un certain élément d de c]. La fonction définie sur par : si et si x , est encore bien en escalier sur et approxime f à ( prés sur cet intervalle. C'est ce qu'il fallait établir. [...]