Mathématiques : géométrie dans l'espace

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur le thème de la géométrie dans l'espace, illustré et comportant de nombreux exemples et applications pour assimiler ce chapitre.

Extraits

[...] intersection de deux plans non parallèles. Exemple 4.3 Représentation paramétrique d'une droite Soit une droite de l'espace. Notons x A , y A , z A ) un point de la droite et u(α , β , λ ) un vecteur directeur de la droite Alors : x = + 2t Soit la droite d'équation paramétrique : = 3 + t , t réel z = 3t quelconque est le paramètre De par la définition de cette droite on peut en déduire que c'est la droite passant par le point et de vecteur directeur . [...]

[...] Leurs coordonnées dans un u = x + y + repère orthonormé sont notées z ) pour u et ; y ' ; ) pour v . Alors le produit scalaire des deux vecteurs est donné par : Colinéarité et produit scalaire u v = xx'+yy zz ' Deux vecteurs u et v de l'espace sont dits colinéaires s'il existe un réel k tel que : u = k Géométriquement, la colinéarité de deux vecteurs traduit le fait que Expression angulaire Soient u et v deux vecteurs de l'espace. [...]

[...] Quelles sont ses coordonnées ? Dans le cas où u n on a vu que la droite et le plan se Ce point appartient à la droite, ses coordonnées sont donc de la coupent en un seul point Comment déterminer les coordonnées de forme : x = 1 + 3t = 1 t (représentation paramétrique) = 2 + t cet unique point commun à la droite et au plan ? La représentation paramétrique de la droite s'écrit : x = x A + tα = y A + tβ z = z + tλ A Comme ce point appartient aussi au plan, ses coordonnées vérifient l'équation du plan. [...]

[...] produit lorsque les triplets c ) et , , ) sont proportionnels. A noter que cela signifie que les vecteurs normaux sont colinéaires. Cas 3 : et (P') sont sécants Le segment est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe Modes de définition d'une droite Dans ce cas, les plans ont une droite en commun. Ceci a lieu lorsque les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. La méthode de détermination de l'équation de la droite correspondante est donnée Il existe de deux principales façons pour définir ou caractériser une droite de l'espace : dans le paragraphe Droites de l'espace paragraphe 1 ère façon : En se donnant un point A de la droite et un Remarque vecteur directeur u(α , β , λ ) . [...]

[...] Exemple Expression analytique La distance du point M au plan P est donnée par la formule : L'ensemble des points vérifiant 2 x y + z 3 = 0 est un plan de P ) = MH = l'espace. Un vecteur normal à ce plan est . Application AM n n Si x0; y z0 ) et P a pour équation ax + by + cz + d = 0 alors : Soit et . Déterminons l'équation du plan de P ) = normal et passant par le point . ax0 + by 0 + cz0 + d + + Application Soit un point de l'espace. [...]