Cours de mathématiques sur les fonctions à valeurs complexes

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fonctions à valeurs complexes, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] _ Si ( , la suite étudiée ne peut converger car les modules des termes prennent alternativement deux valeurs distinctes. _ Si , la suite des modules est constante , mais la suite n ( ne peut converger que si ( est un multiple de 2(. En effet, d'après les formules : , cette convergence entraînerait aussi celle des suite n et n ce qui n'est possible que sous l'hypothèse ( (2(Z. La convergence n'est donc possible que si a=r est un réel strictement positif et si La suite étudiée est alors stationnaire en z Une suite géométrique de terme général (qn satisfera à la condition si et seulement si, pour tout entier n : (qn+2=2(cos(()qn+1-(qn. [...]

[...] _ La somme, le produit, le quotient de deux fonctions dérivables en un point sont aussi dérivables en ce point suivant les formules établies dans le cas réel. _ La formule de Leibniz donnant la dérivée d'ordre n d'un produit s'applique sous les mêmes hypothèses de dérivabilité dans le cas de fonctions à valeurs complexes. _ Le théorème de dérivation d'une composée f ( s'étend à l'identique, sous réserve ici aussi que la fonction ( soit de variable et d'image réelles. Ainsi la règle de dérivation d'une puissance de fonction : (un)'=nun-1.u' n'est pas une conséquence de ce théorème mais se prouve par récurrence sur l'entier n. [...]

[...] A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d'image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l'étude des limites en Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée. _ Le théorème d'encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l. [...]

[...] Pour l'hérédité, posons .Des hypothèses xn et on déduit aussitôt ; Comme 0 ( q ce qui est contraire à la convergence supposée. Une suite d'itérés par f ne peut donc converger ici vers l que si elle est stationnaire, c'est à dire s'il existe un entier n0 pour lequel . Dans ce cas on aura xn=l pour tout entier n supérieur ou égal à n. FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES. Cadre d'étude et notations. On considérera dans toute la suite des fonctions d'une variable exclusivement réelle et à valeurs dans le corps C des complexes. [...]

[...] Ainsi le théorème des valeurs intermédiaires, de Rolle, des accroissements finis, ne fonctionnent plus. Intégration. Définition. On dira que la fonction f à valeurs complexes est intégrable Riemann sur l'intervalle si et seulement si ses deux fonctions composantes u et v sont intégrables sur cet intervalle. On posera alors Ici aussi la généralisation conserve l'essentiel des propriétés établies pour l'intégration des fonctions à valeur réelle. On vérifiera sans difficultés : _ La C linéarité de l'application f ( définie sur le C espace des fonctions intégrables Riemann sur b]. [...]