Cours de mathématiques sur les fonctions circulaires et hyperboliques

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les fonctions circulaires et hyperboliques, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Nous appellerons fonction Arc-sinus (notation abrégée Arcsin) cette réciproque g. L'appellation se justifie car l'évaluation d'une image pour un y donné de revient à déterminer le seul réel x de , ] tel que sin(x)=y . L'antécédent x est donc bien un de sinus y', le seul arc convenable dans l'intervalle restreint imposé. Avec cette notation, les propriétés classiques vérifiées par la réciproque g se traduisent alors : , , ] Arcsin(y)=x ( y=sin(x) . ( x sin(Arcsin(x))=x . Arcsin(sin(x))=x . [...]

[...] Le point de départ sera ici le couple de relations fondamentales : ch(a+b)=ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b) et sh(a+b)=sh(a)ch(b)+sh(b)ch(a) Les formules obtenues sont très proches de celles de la trigonométrie classique, identiques ou équivalentes à un signe près . Nous ne les développerons pas dans ce cours car leur intérêt dans le cadre du programme est négligeable. A traiter en exercice par le lecteur intéressé ! Exercices sur les fonctions circulaires et hyperboliques Résoudre les équations suivantes : sin(x)+cos(4x)=cos(2x) tan(x-1)tan(x-5)=tan²(x) 2. Vérifier les égalités suivantes : 3. Montrer que Par comparaison des tangentes. [...]

[...] Nous considérons ici la restriction f de la tangente au seul intervalle de départ , [ Elle est continue, strictement croissante sur cet intervalle qu'elle relie donc bijectivement à l'intervalle ouvert délimité par les limites aux bornes, c'est à dire La réciproque g sera naturellement appelée fonction Arc-tangente et notée Arctan. On a donc immédiatement, suivant la définition : ( y(R et , [ Arctan(y)=x ( y=tan(x) . ( x(R tan(Arctan(x))=x . Arctan(tan(x))=x . uniquement si x , [ _ La fonction Arctan est continue, strictement croissante sur R entier. [...]

[...] Fonction sinus-hyperbolique. On appelle ainsi et on notera sh la fonction de R vers R définie par : Vu les propriétés de l'exponentielle il s'agît donc d'une fonction de classe C ( sur impaire, strictement croissante et dérivable suivant : . _ Elle est asymptote au voisinage de à la fonction x ( et a donc pour limite _ On vérifie facilement que la fonction sh établit une bijection de R sur la réciproque étant définie par la formule x ( Il suffit pour cela de résoudre l'équation aux antécédents de x donné, soit : sh(y)=x En posant X=ey on la ramène immédiatement à , équivalente à l'équation du second degré X²-2xX-1=0. [...]

[...] En utilisant le changement de variable On considère les fonctions f et ( définies par les schémas suivants : Montrer que f est bijective et expliciter la réciproque f Montrer que la composée g=f ( f est une fonction affine par morceaux On considère la fonction f de dans R définie par la formule f(x)=cos( ) Montrer que f est la restriction d'une fonction polynôme dont on déterminera toutes les racines réelles Etudier les fonctions définies par les formules suivantes : 7. Résoudre les équations suivantes : cos(x)-cos(2x)=sin(3x) 2sin²(x)+sin²(2x)=2 sin(Arctan(x))=tan(2Arctan(x)) cos(Arctan(x))+2sin(Arctan(x))= 8. Montrer que ( x : 9. Simplifier les sommes suivantes pour x réel et n entier non nul : S1=ch(x)+ch(x+1)+ . S2=ch(x)+ch(2x)+ . +ch(nx) S3=sh(x)+2sh(2x)+ . +nsh(nx) 10. Soit a un réel de Discuter et résoudre l'équation d'inconnue x suivante : ch(x)+cos(a)sh(x)=sin(a) 11. [...]