Fiche résumée de cours de Mathématiques de niveau Maths SUP sur les fonctions de Rp dans Rn. Ce document résume toutes les propriétés essentielles des fonctions de Rp dans Rn.
Sommaire
I) Limite d'une fonction de Rp dans R II) Composition des limites III) Continuité d'une fonction f : Rp vers R IV) Dérivée partielle d'une fonction f : Rp vers R V) Classe d'une fonction VI) Formule de Schwartz VII) Différentielle d'une fonction f : Rp vers R VIII) Notation sur les fonctions f : Rp vers Rn IX) Classe d'une fonction f : Rp vers Rn X) Différentielle d'une fonction f : Rp vers Rn XI) Matrice jacobienne d'une fonction f : Rp vers Rn XII) Déterminant jacobien d'une fonction f : Rp vers Rp XIII) Différentielle d'une composée XIV) Dérivée partielle d'une composée XV) Matrice jacobienne d'une bijection réciproque XVI) Déterminant jacobien d'une bijection réciproque XVII) Changement de variables entre deux ouverts de Rp XVIII) Développement limité d'ordre 1 d'une fonction f : R2 vers R XIX) Développement limité d'ordre 2 d'une fonction f : R2 vers R XX) Extremum local d'une fonction f : R2 vers R XXI) Extremum global d'une fonction f : R2 vers R XXII) Point critique d'une fonction f : R2 vers R XXIII) Lien entre extremum local et point critique XXIV) Etude des extrema locaux d'une fonction de deux variables
I) Limite d'une fonction de Rp dans R II) Composition des limites III) Continuité d'une fonction f : Rp vers R IV) Dérivée partielle d'une fonction f : Rp vers R V) Classe d'une fonction VI) Formule de Schwartz VII) Différentielle d'une fonction f : Rp vers R VIII) Notation sur les fonctions f : Rp vers Rn IX) Classe d'une fonction f : Rp vers Rn X) Différentielle d'une fonction f : Rp vers Rn XI) Matrice jacobienne d'une fonction f : Rp vers Rn XII) Déterminant jacobien d'une fonction f : Rp vers Rp XIII) Différentielle d'une composée XIV) Dérivée partielle d'une composée XV) Matrice jacobienne d'une bijection réciproque XVI) Déterminant jacobien d'une bijection réciproque XVII) Changement de variables entre deux ouverts de Rp XVIII) Développement limité d'ordre 1 d'une fonction f : R2 vers R XIX) Développement limité d'ordre 2 d'une fonction f : R2 vers R XX) Extremum local d'une fonction f : R2 vers R XXI) Extremum global d'une fonction f : R2 vers R XXII) Point critique d'une fonction f : R2 vers R XXIII) Lien entre extremum local et point critique XXIV) Etude des extrema locaux d'une fonction de deux variables
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Extraits
[...] SI f admet un extremum local en alors est un point critique pour f. On a donc l'implication : f admet un extremum local en Þ ATTENTION : La RECIPROQUE est FAUSSE. ( a , = ( a , b = ) y Etude des extrema locaux d'une fonction de deux variables HYPOTHESES 2 U est une PARTIE OUVERTE de R f : U est une fonction de CLASSE C sur U. , est un élément fixé de U. On suppose que est un POINT CRITIQUE de f. [...]
[...] f : U est une fonction . ( a a a p ) est un élément de U. p est une NORME sur R . u u u p : R sont p fonctions. t est un réel fixé l est un réel fixé. SI l'on a ( x xp ) a a p ) lim f ( x x p ) = l et "kÎ{ lim uk ) = a k ALORS on a : lim f [u1 ) u p = l . [...]
[...] On peut écrire " ( x x x p ) ÎU : f ( x x x p ) = ( f1 ( x x x p ) , f2 ( x x x p ) fn ( x x x p ) ) . On notera pour simplifier : f = ( f f fn ) . Classe d'une fonction f : R p n HYPOTHESES p U est une PARTIE OUVERTE de R . n f : U est une fonction avec f = ( f f fn ) . [...]
[...] j j i x C'est la formule de Schwarz. Différentielle d'une fonction f : R p HYPOTHESES p U est une PARTIE OUVERTE de R . f : U est une fonction . ( a a a p ) est un élément de U. On suppose que f ADMET DES DERIVEES PARTIELLES On appelle différentielle de f en 1 p ) l'application suivante : df( a a p ) : ( h h p ) h1. en a a p ) . [...]
[...] Point critique d'une fonction f : R 2 HYPOTHESES 2 U est une PARTIE OUVERTE de R f : U est une fonction de CLASSE C sur U. , est un élément fixé de U. On dit que est un point critique pour f si l'on a : ( a , = ( a , b = ) y Lien entre extremum local et point critique HYPOTHESES 2 U est une PARTIE OUVERTE de R f : U est une fonction de CLASSE C sur U. [...]
