Cours de mathématiques sur les espaces euclidiens

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les espaces euclidiens, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Désignons par p la projection orthogonale sur F=VecR(u1, .,up) Pour tout x de E on a alors avec y(F et .+(pup La distance de x au sous espace F est . Examinons la matrice Gram(u1, .,up, x). Si nous soustrayons à la dernière colonne de celle ci la combinaison (1C1+ +(pCp des p premières, nous obtenons comme nouveau coefficient d'indice ligne le terme : , puisque y est orthogonal à F=VecR(u1, .,up). [...]

[...] Premières conséquences. _ En réponse à une interrogation précédente, on peut définir maintenant l'écart angulaire d'un couple de vecteurs non nuls de E comme l'élément ( de tel que . Avec cette convention , on retrouve l'expression familière : Notons également, toujours sous réserve qu'aucun des 2 vecteurs ne s'annule, les équivalences suivantes : u v ( (angle droit) ; u.v ( 0 ( ( ( aigu); u.v ( ( ( obtus) _ Inégalité de Minkowski. Partons de l'identité remarquable Tout réel étant inférieur ou égal à sa valeur absolue, et vu l'inégalité de Cauchy précédente, on en déduit : . [...]

[...] _ Supposons l'existence de bases orthonormées assurée au sein de tout espace Euclidien de dimension n et examinons le cas d'un espace E de dimension n+1. Soit u1 un vecteur de norme 1 de E et H l'orthogonal de la droite engendrée par u1. Le théorème précédent nous dit que E=VecR(u1)(H . Or H acquiert une structure Euclidienne si on le considère muni de la restriction du produit scalaire défini sur E. L'hypothèse de récurrence nous assure alors l'existence d'une base orthonormée pour cet espace Euclidien de dimension n. Il est alors clair que le système B u un+1) est une base orthonormée de E. [...]

[...] Soit B une base orthonormée d'un espace Euclidien E de dimension On note f l'endomorphisme de E représenté dans B par la matrice Montrer que f est une projection orthogonale puis préciser son support et sa direction Soit E un espace Euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormé B . On note P le plan de E d'équation x+ay+bz=0 dans la base B . Déterminer la matrice dans B de la projection orthogonale p sur ce plan P et de la symétrie orthogonale s par rapport à P Soit B e2, e3) une base orthonormée d'un espace Euclidien E. On considère les vecteurs a=(e1+e2- et b=e1-e2+e3. [...]

[...] Le carré de la norme d'une fonction f pour cette structure Euclidienne est Le minimum de lorsque décrit R(R représente donc le carré de la distance minimum de la fonction f : t ( au plan P de E dont une base est le couple e2) des restrictions respectives de sinus et cosinus à l'intervalle On sait que ce minimum est défini par avec projection orthogonale de f sur le plan P. Pour évaluer ce projeté on peut construire suivant le procédé de Schmidt une base orthonormée de P à partir du système e2). Evaluons la matrice de Gram de celui ci. est donc une base orthonormée de P. On en déduit p(f)=(f.u1)u1+(f.u2)u2. Or : D'après le théorème de Pythagore on a donc la relation : . [...]