Cours de mathématiques sur les espaces affines

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les espaces affines, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Ainsi le triangle projeté sera rectangle en A' si et seulement si un au moins des côtés de l'angle droit est parallèle au plan P a ) E est le barycentre du système ; : 4). Le milieu F de peut donc être considéré comme le barycentre du système formé par ; ou encore comme le barycentre de ; ; ; 4). En appliquant à nouveau le principe du barycentrage par blocs on peut remplacer le doublet ; par le seul couple 8). F apparaît alors comme barycentre de ; ; 4). En divisant tous les coefficients par 2 et en changeant l'ordre on se ramène alors à : F barycentre de ; ; 2). [...]

[...] Dire que f conserve la distance se traduit alors M'N'=MN , ou encore . On en déduit immédiatement la caractérisation suivante : Une application affine f est une isométrie affine si et seulement si son endomorphisme associé est une transformation orthogonale. _ Si on dira que f est un déplacement. _ Si on dira que f est un antidéplacement. Il est alors clair que la composée de deux isométries affines est encore une isométrie, que toute isométrie affine est bijective et de réciproque conservant également les distances. [...]

[...] On note E le barycentre du système ; : 4). Montrer que le milieu F de est barycentre de ; ; 2). Ecrire le milieu G de comme barycentre des points C affectés de coefficients convenables. Montrer que E est le milieu de G). Montrer que les points G permettent de découper le triangle en sept portions triangulaires d'aires identiques Reconnaître et caractériser les applications f de E vers E définies analytiquement dans le repère R par : ( M'(x', y', z') dans les cas suivants : x'=-z+1 ; y'=x ; z'=y-2. [...]

[...] (Car _ Les isométries vectorielles conservant l'orthogonalité, on en déduit facilement que toute isométrie affine transforme toujours deux variétés orthogonales en deux variétés images orthogonales entre elles. Classification des isométries en dimension Isométries d'une droite affine. Rappelons que le groupe orthogonal d'une droite vectorielle E est réduit à deux éléments, homothéties vectorielles de rapports respectifs 1 et _ L'identité u=IE engendre les translations., formant le groupe des déplacements de la droite. _ L'homothétie donne naissance aux homothéties ponctuelles de rapport appelées également symétries centrales. On notera SO l'application : M (M' tel que . Ces symétries centrales constituent les antidéplacements de la droite. [...]

[...] Considérons alors le projeté orthogonal H de M sur le plan affine P=A F). De on déduit , puis par différence : Le point H apparaît donc comme le milieu de M'). Dans ce cas f sera appelée symétrie orthogonale par rapport au plan P ou tout simplement réflexion par rapport au plan P et on la notera en général f=SP . Si f n'admet pas de points invariants, elle transforme un point donné A de E en A' tel que le vecteur n'appartient pas à Im(u-IE)=F . [...]