Cours de mathématiques sur les équations différentielles

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les équations différentielles, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] C'est le cas de second membres polynômiaux ou produits d'un polynôme par une exponentielle, intervenant fréquemment dans des équations différentielles traduisant des phénomènes physiques. On a dans cette configuration la règle pratique suivante : Si le second membre est du type P(x)e avec P polynôme de degré n et ( complexe donnés, on cherchera une solution particulière du même type Q(x)e avec Q polynôme de degré : _ égal à n si ( n'est pas solution de l'équation caractéristique (Ecar) _ égal à n+1 si ( est racine simple de cette équation caractéristique. [...]

[...] Définitions et notations premières. Soit n un entier non nul, D une partie du produit cartésien R(Cn+1 et F une application de D vers C. Résoudre l'équation différentielle : y' signifie déterminer toutes les fonctions y de variable réelle, à valeurs dans dérivables au moins à l'ordre n en tout point de leur ensemble de définition I et telles que pour tout x de I on ait : y'(x) L'entier n sera appelé ordre de l'équation C'est le plus grand indice de dérivée successive de la fonction y intervenant explicitement dans Remarquons que la variable est nécessairement réelle mais que pour les images nous considérons le cas le plus général de fonctions à valeurs dans C. [...]

[...] Remarque sur les courbes intégrales correspondantes. Si x1 désigne un élément donné de I et y1 un élément arbitraire de il existe une et une seule solution de prenant la valeur y1 en x1. En effet, avec les notations précédentes, la contrainte y(x1)=y1 est réalisée pour la seule valeur . Si K=R il existe donc une et une seule courbe intégrale passant par un point donné du plan de coordonnées y1) . EQUATION LINEAIRE DU SECOND ORDRE. Son type général est : a(x)y''+b(x)y'+c(x)=d(x) . [...]

[...] La fonction z définie comme est dérivable sur I suivant L'équation proposée se ramène donc à l'équation linéaire d'inconnue z : -xz'+2z=x . Le coefficient x de z' ne s'annulant pas sur les solutions de l'équation sans second membre seront définies sur cet intervalle par : avec ( constante réelle quelconque. Remarquons alors que la fonction identique sur x vérifie de manière évidente l'équation en z. On en déduit l'expression des solutions générales sur soit : , avec ( constante réelle arbitraire. [...]

[...] Celui ci est dérivable sur I suivant : ('=y1.y2''-y1''.y2 Or y1 et y2 satisfont à : On en déduit facilement par combinaison l'égalité : a(x)(y2''y1- y2y1'')+b(x)(y1y2'-y2y1')=0 Ceci montre que ( est solution de l'équation linéaire du premier ordre : a étant supposé ne s'annulant pas sur on sait que ( est alors multiple de la fonction : x ( . Si ( s'annulait en un point de ( serait alors identiquement nul sur I entier. On en déduirait y1.y2'-y1'.y2= ou encore sur tout l'intervalle I. [...]