Cours de mathématiques sur les développements limités

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les développements limités, illustré par une vingtaine d'exercices type corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Que peut on dire de la partie régulière de ce développement lorsque f est une fonction paire ? Même question lorsque f est supposée impaire Déterminer le D.L à l'ordre 3 en 0 des fonctions définies par les formules : Arctan(x+1) 5. Déterminer le D.L 3 en 0 de la fonction f définie sur par f(x)=Arcsin(1-x²) La fonction g définie sur par la même formule x (g(x)=Arcsin(1- est elle développable à l'ordre 3 en 0 ? 6. Développer à l'ordre 3 à l'origine les fonctions définies par les formules : 7. [...]

[...] Il s'ensuit que f est strictement croissante sur R. Etant de plus continue, f réalisera donc une bijection entre l'ensemble des réels et l'intervalle ouvert dont les bornes seront les limites respectives de f en ( et + La fonction sinus étant bornée sur R est négligeable devant x au voisinage de l'infini, il s'ensuit que l'ensemble image de f sera exactement Si on note g la bijection réciproque de la seule solution de l'équation paramétrique , pour ( réel fixé, n'est donc autre que On sait que g est dérivable suivant la formule en tout point tel que cos(g(x)) est différent de On en déduit facilement que g admet des dérivées d'ordre quelconque en 0 que l'on pourrait déterminer de proche en proche en dérivant la relation différentielle g'(x)[cos(g(x))+1]=1 avec pour point de départ la valeur numérique évidente g(0)=0. [...]

[...] On pourra donc parler sous réserve que la décomposition soit possible, du développement limité à l'ordre n de f en x Le polynôme x sera appelé partie régulière de ce développement et le terme en sera le reste. A propos du degré et de la valuation de la partie régulière. _ Insistons sur le fait que l'on n'impose pas à P d'être de degré mais seulement de degré au plus n. Par exemple rien n'interdit d'avoir un développement limité dont la partie régulière serait identiquement nulle. [...]

[...] Déterminer un développement limité à l'ordre n de f en x0 reviendra donc par l'intermédiaire de ce même changement de variable, à trouver un développement limité d'ordre n en 0 pour la fonction h ( f(x0+h). On aura alors au voisinage de 0 : avec P polynôme de degré au plus n. Il est donc intéressant de connaître les développements à l'origine des fonctions usuelles, ce qui s'obtient facilement avec le polynôme de Taylor en 0. Les principaux résultats sont résumés dans le tableau suivant. Pour les justifications on se reportera aux formules explicitant les dérivées d'ordre quelconque des fonctions en question, et on examinera leurs valeurs en 0. PRATIQUE DES DEVELOPPEMENTS. [...]

[...] On sait qu'en 0 le sinus hyperbolique est équivalent à x car son nombre dérivé en ce point est ch(0)=1. Les parties régulières du dénominateur et du numérateur sont donc de valuation 2 ou au moins égale à ce qui entraînera une simplification par un facteur commun D'où la nécessité de pousser le développement des termes de la fraction jusqu'à l'ordre 5 pour compenser la chute des degrés dans les restes. Partant du développement classique en 0 : On en déduit qu'au voisinage de 0 : : Ainsi Après développements et réductions : . [...]