Cours de mathématiques sur les déterminants

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les déterminants, illustré par une vingtaine d'exercices types regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] _ Supposons la propriété vraie pour un entier n et examinons un déterminant fonctionnel d'ordre n+1. En le développant suivant la première colonne on obtient la formule classique : Ai(x) désignant la matrice d'ordre n obtenue à partir de en supprimant la première colonne et la ligne d'indice i. D'après l'hypothèse de récurrence, la fonction Di définie sur I par Di(x)=det(Ai(x)) est donc continue sur tout cet intervalle et ceci pour tout i de { n+1}. D est donc bien continue sur I comme combinaison linéaire de produits de fonctions continues. [...]

[...] S sera alors libre si et seulement si la quantité xy'-x'y est non nulle. Si x est nul et x' différent de un raisonnement symétrique en échangeant les deux vecteurs donne : S libre ( x'y-xy' (xy'-x'y Enfin si x')=(0, , les deux vecteurs de S sont multiples du même vecteur e2 et constituent donc un système lié. Remarquons que dans ce cas xy'-x'y=0. On définira donc naturellement ici le déterminant de S dans la base B comme l'élément de K noté et représenté par : detB (S)=xy'-x'y= Ce qui précède établit l'équivalence entre la dépendance linéaire de S et l'annulation de son déterminant. [...]

[...] On termine en calculant det(T2)= Ainsi ( n : det(Tn)= En utilisant la linéarité par rapport à la dernière colonne on peut d'abord décomposer Dn en la somme An+Bn des deux déterminants obtenus en remplaçant respectivement la dernière colonne de la matrice d'origine d'une part par une colonne formée uniquement de 1 et d'autre part par la colonne dont tous les termes sont nuls sauf le dernier, égal à n. _ En développant Bn suivant cette même dernière colonne, il vient : Bn=nDn-1. _ En soustrayant à chaque ligne de An la dernière ligne du tableau, on obtient un déterminant triangulaire inférieur dont les termes de la diagonale principale sont les entiers On en déduit immédiatement et par suite la relation de récurrence : Dn=(n-1)!+nDn-1 valable pour tout n (2. [...]

[...] _ Pour n les vérifications sont immédiates sur les formules de calcul. _ Supposons la propriété vraie pour un entier n et examinons une matrice triangulaire supérieure A d'ordre n+1 de coefficient générique j). En développant son déterminant suivant la première colonne, la formule se résume en fait à : det(A)=a(1,1)det(A(1,1)) avec pour la matrice carrée d'ordre n obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne de A. étant de manière évidente aussi triangulaire supérieure, son déterminant sera par hypothèse de récurrence le produit de ses éléments diagonaux principaux. [...]

[...] Il suffit en effet d'appliquer le morphisme classique de K-Algèbre reliant à LK(E) et transformant X en f. fi 3-IE n'étant pas injectif, son déterminant sera nul et on en déduit d'après le théorème du produit que det(f-IE).det(f-jIE).det(f-j²IE)=0. Un des trois facteurs est donc nécessairement nul, ce qui assure la non injectivité de l'endomorphisme f-(IE pour au moins un ( de Effectuons la séquence de manipulations sur les lignes : pour i variant en décroissant de n à 2. Vu la relation fondamentale de construction du triangle de Pascal, le coefficient d'indice j de la ligne i devient : _ 1-1=0 si j=1. [...]