Cours de mathématiques : les déterminants d'ordres 2 et 3

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les déterminants d'ordres 2 et 3. Dans un premier temps, le cours se penche sur les déterminants d'ordre 2, puis d'ordre 3, pour ensuite étudier comment orienter un espace vectoriel réel. Ensuite, les déterminants d'un endomorphisme et d'une matrice carrée sont définis puis l'expression de la solution d'un système de Cramer est donnée.

Extraits

[...] Soit une base directe de , pour , on définit la famille par , est une base directe et la famille définie par est une base indirecte. D4 : Produit vectoriel de deux vecteurs de On considère que la base canonique de est une base orthonormée directe, le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur noté . Une disposition pratique est remarque 1 : remarque 2 : famille libre et lorsque est une famille libre, est une base directe de . [...]

[...] et n'ont pas de solution 3. [...]

[...] famille liée et , on a une équation dans la base de : ou Le plan affine est rapporté au repère , écrire les équations cartésiennes dans ce repère des côtés du triangle lorsque . Pour , il suffit d'écrire : , lorsque Une équation dans de est . A FINIR P3 : Propriétés du déterminant Notations : , donné, et donné, et sont les applications partielles associées à , on note également et . et sont des formes linéaires, on dit que est une forme bilinéaire on dit que est alternée. [...]

[...] supposons que si et alors , et est vérifiée si ou , on étudie le cas : d'après de plus , par conséquent en posant on a : d'où (le cas s'étudie de façon analogue) D1 : Déterminant de deux vecteurs une base de et et , Le nombre est appelé déterminant des deux vecteurs et dans la base . On note ou . P2 : Caractérisation des bases Application écriture de l'équation d'une droite vectorielle dans la base d'un espace vectoriel de dimension 2 désigne un espace vectoriel réel et désigne une base de . [...]

[...] est l'unique forme bilinéaire alternée qui prend la valeur 1 en . P5 : Changement de base Soient et deux bases de , est une forme bilinéaire alternée définie sur par conséquent ou (écriture type relation de Chasles En particulier, lorsque ou Déterminants d'ordre 3 ou , désigne un -espace vectoriel et une base de D2 : Déterminant de trois vecteurs Lorsque est une base de , toutes les formes trilinéaires alternées définies sur sont colinéaires : leur ensemble est un espace vectoriel de dimension dont est une base. [...]