Cours de mathématiques sur la dérivation

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la dérivation, illustré par une vingtaine d'exercices types corrigés regroupant la totalité des notions étudiées.

Extraits

[...] Cependant, l'étude directe du taux d'accroissement donne : =0. Ainsi : f '(0)=0. Il est donc conseillé de n'employer le résultat ci dessus que dans les cas où l'étude directe du taux d'accroissement en a est trop délicate. Signe de la dérivée et sens de variations. Théorème fondamental : Soit f une fonction à valeurs réelles, dérivable sur l'intervalle quelconque I. _ Si ( x f'(x) alors f est strictement croissante sur l'intervalle I. _ Si ( x f'(x) alors f est strictement croissante sur l'intervalle I. [...]

[...] On considère une fonction f définie sur et dérivable en tout point de cet ensemble. On suppose de plus que f et f ' admettent des limites réelles en a. (On notera et Sous ces hypothèses, le prolongement à I par continuité de f obtenu en posant sera dérivable en a et admettra ( pour nombre dérivé en ce point. Il s'agît d'une application du théorème des accroissements finis. D'après ce résultat et pour x le taux d'accroissement pourra toujours s'écrire sous la forme f '(cx) avec cx strictement compris entre a et x. [...]

[...] Si la fonction f est représentée par la courbe C dans un plan rapporté à un repère cartésien la droite affine T d'équation dans R : sera nommée tangente à la courbe C au point A d'abscisse a. Signalons aussi les conséquences suivantes, pratiques dans le calcul des limites : _ Si on aura au voisinage de a : ( _ Si on aura au voisinage de a : La tangente, meilleure approximation affine locale de la courbe. Supposons f dérivable en a. [...]

[...] On suppose de plus f bornée sur l'intervalle I. Le polynôme défini par la formule est appelé polynôme de Taylor d'ordre n de f en x0. Ce polynôme approxime localement la fonction f au voisinage de x la qualité de cette approche étant précisé par la majoration de l'écart suivante : ( x Démonstration. _ Commençons par ramener le problème posé à une étude standard au voisinage de 0. Il suffit pour cela de considérer la fonction g définie par sur l'intervalle J image de I par la translation x (t(x)=x-x0. [...]

[...] On peut alors appliquer le théorème de Rolle à g sur puisque de plus cette fonction prend des valeurs identiques aux bornes de cet intervalle. Il existe donc au moins un réel d de tel que g'(d)=0. En posant on en déduit alors f'(c)=0 avec Si la fonction continue sur changeait de signe sur cet intervalle, on en déduirait d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'annulation de f en un point au moins de l'intervalle b]. Vu l'hypothèse de l'exercice, f garde donc un signe constant sur I. [...]