Cours de mathématiques sur les barycentres

Résumé du document

Cours de mathématiques définissant ce que sont les barycentres. Ce cours regroupe l'ensemble des théorèmes et définitions de base associés au barycentre de deux points et plus. Il permet d'apprendre à calculer les coordonnées d'un barycentre, à construire un barycentre, à appliquer la règle d'associativité de plusieurs barycentres...

Extraits

[...] Coordonnées du barycentre de trois points ; ; ; ) est un repère de l'espace dans lequel sont placés les points A (xA ; yA ; B (xB ; yB ; zB) et C (xC ; yC ; zC). b et c sont trois réels tels que a + b + c 0. G est le barycentre des points pondérés ; ; et ; c). Objectif : On souhaite exprimer le vecteur en fonction des vecteurs , et afin de pouvoir déterminer les coordonnées du barycentre G. On sait que, pour tout point M : a + b + c = + b + . On admet que M = O. [...]

[...] D'après la règle d'associativité, G est donc le barycentre des points pondérés ; et ; 1). - Construction du point barycentre des points ; et ; : Pour tout point on a : 1 2 = 2 = On admet que M = B. On a alors : 2 = 2 = Donc : = 2 - Construction du point barycentre des points ; et ; : G est l'isobarycentre des points H et A donc c'est le milieu du segment [AH]. [...]

[...] Objectif : On souhaite calculer les coordonnées du barycentre G. xG = a xA + b xB = 2 xA + 3 xB = 2 + 3 4 = 14 a + b 2 + yG = a yA + b yB = 2 yA + 3 yB = 2 2 + 3 1 = 1 a + b 2 + zG = a zA + b zB = 2 zA + 3 zB = 2 3 + 3 = 21 a + b 2 + Le barycentre G a donc pour coordonnées (14 ; 1 ; 21). [...]

[...] G est le barycentre du système ; ; ; Objectif : On souhaite calculer les coordonnées du barycentre G. xG = a xA + b xB + c xC = 1 xA + 2 xB + 3 xC = 1 + 2 3 + 3 4 = 19/4 a + b + c 1 + 2 + yG = a yA + b yB + c yC = 1 yA + 2 yB + 3 yC = 1 0 + 2 1 + 3 2 = 1 a + b + c 1 + 2 + zG = a zA + b zB + c zC = 1 zA + 2 zB + 3 zC = 1 2 + 2 1 + 3 0 = 0 a + b + c + 2 + Le barycentre G a donc pour coordonnées (19/4 ; 1 ; 0). [...]

[...] On a alors : ka + kb = k + b ) = Donc G est aussi le barycentre des points pondérés ; ka) et ; kb). Propriété : Le barycentre de deux points pondérés ; et ; ne change pas lorsqu'on multiplie les deux coefficients a et b par un même réel k non nul. Exemple : Le barycentre du système ; ; est aussi celui du système ; ; ou encore du système ; ; * (on multiplie 1/3 et 2/3 par k = (on multiplie 1/3 et 2/3 par k = Propriété : réduction d'une somme de deux vecteurs de même origine G est le barycentre des points pondérés ; et ; et a + b 0. [...]