Ce document est un cours complet de géométrie analytique, assorti de 20 exercices tous corrigés. Il traite en premier de la droite dans l'espace : représentation paramétrique, système d'équations cartésiennes, distance d'un point à une droite, perpendiculaire commune à deux droites coplanaires. On s'intéresse ensuite au plan dans l'espace : représentation paramétrique, équation cartésienne, distance d'un point à un plan. Dans un troisième temps, on présente les sphères, les cylindres et les cônes ; on donne pour chacun leur équation cartésienne et leur représentation paramétrique ainsi que diverses intersections entre objets géométriques. Les coniques sont l'objet de la partie suivante : définition monofocale, définition bifocale des coniques à centre, propriétés des tangentes aux coniques.
[...] Pour cela écrivons vue la définition barycentrique des sommets : et On en déduit aussitôt par addition et soustraction respectives : Notons alors c la distance commune des deux foyers au centre : c=OF=OF'. La connaissance de ce nombre permettra grâce aux égalités ci dessus : _ D'obtenir l'excentricité par : (conséquence de _ De préciser la position des directrices associées à chacun des foyers. Ainsi la directrice D associée à F d'abscisse aura pour équation . Reste à expliquer comment obtenir c à partir de l'équation réduite. Dans le cas de l'ellipse on a posé , d'où : = . [...]
[...] Un point M de E est par définition élément du cône de sommet et de directrice C si et seulement si il existe un point P de C et un réel t tel que On en déduit le paramétrage suivant de ce cône en fonction du couple Pour en déduire une équation cartésienne, remarquons d'abord que t est relié simplement aux deux premières coordonnées par : . De on déduit alors : D'où l'équation cartésienne : Réciproquement, si vérifie l'équation ci dessus, on montre facilement qu'il s'agît bien d'un point du cône étudié. Pour cela : _ On commence par considérer la valeur L'équation ci dessus se traduit alors : Si t=0 on en déduit z=1 et par suite x=2-y=1. Le point M est le sommet du cône. Si t non nul on considère alors ( de défini par le système : . [...]
[...] La traduction analytique de cette relation se déroule de manière analogue à l'étude faite précédemment pour l'ellipse. Comme pour l'hyperbole on en déduit Le point M appartient donc à la conique et son abscisse est strictement positive puisque MF'-MF=2a (0. M est donc bien sur la branche C On établit sans problème de manière analogue : M - ( MF-MF'=-2a, C désignant la branche d'hyperbole formée des points de C d'abscisse négatives. Propriétés particulières des tangentes aux coniques Théorème 1. [...]
[...] _ On commence par remarquer que . _ En reportant cette expression dans les deux premières relations et après regroupements on en déduit : . _ De on tire alors la relation : Réciproquement, tout point satisfaisant à la relation précédente appartient bien au cône de directrice C et de sommet S. En effet en prenant et en choisissant ( dans défini par on aura bien M défini par . Le seul problème est pour mais l'équation donne alors dont on tire les valeurs x=1 et y=2. [...]
[...] Il n'existe aucune solution réelle pour a. Effectivement, il n'existe pas de plan tangent à une sphère donnée passant par une droite coupant cette sphère. _ Si d =dA. On obtient une racine double, soit : . Cela nous conduit à un seul plan solution, d'équation cartésienne : -x+4y+5z=0. _ Enfin, si d on obtient deux racines réelles : . On pourra donc mener en pivotant autour de D , deux plans tangents à la sphère La droite D est paramétrée de manière évidente par : Il s'agît donc de la droite passant par O et dirigée par le vecteur normé = Le point appartient donc au cône de révolution d'axe D de sommet O et de demi angle au sommet si et seulement si : Après simplifications on obtient : Les points de ce cône situées à une côte nulle sont les points satisfaisants à l'équation On en déduit L'intersection du cône étudié avec le plan ‘horizontal' est donc la réunion de deux droites de ce plan Le plan P d'équation x+y=1 est le plan affine passant par et dont la direction est l'orthogonal du vecteur normé = . [...]
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