Cours sur les fonctions de deux variables

Résumé du document

Ce document est un cours sur les fonctions de deux variables, assorti de vingt exercices tous corrigés. Tout d'abord, on rappelle quelques généralités à partir des fonctions à une seule variable : extension des définitions et résultats classiques. On passe ensuite à la dérivation : dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles, classe de fonction, règles de dérivation, dérivées partielles successives.

Extraits

[...] _ Si y0 est non nul. On aura , d'après les règles opératoires et la continuité des projections ; (y. Puisque , il s'ensuit d'après le théorème de composition, que f tend vers 0 au point a. _ Si y0 est nul. Le point d'étude est l'origine. Sur une parabole d'équation la fonction f garde la valeur constante lm= et tend donc vers cette limite lm lorsque la variable tend vers l'origine le long de ce chemin. Les valeurs lm étant variables avec f ne peut donc admettre de limite universelle au point origine Partons du développement limité à l'ordre 3 de sinus au voisinage de On en déduit immédiatement: et puis par combinaisons : Utilisons alors le repérage polaire, soit : ; , avec Il vient facilement : Or ( tend vers 0 lorsque tend vers et les fonctions sinus et cosinus sont bornées. [...]

[...] On reconnaît une approximation affine tangente de la composée g=f ( , avec un nombre dérivé égal à . Remarque Si ( est une fonction de deux variables de classe C1 sur l'ouvert U de t2) de composantes respectives et la formule ci dessus appliquée à la restriction t ( f t2) donne l'expression suivante de la première dérivée partielle de la composée: On obtient de même l'autre dérivée partielle par : Dérivées partielles successives On définit naturellement de proche en proche les dérivées partielles d'ordre 2 comme les dérivées partielles des dérivées partielles d'ordre 1. [...]

[...] D'où l'appellation fonction affine tangente pour la fonction définie sur par la formule : x ( '(a)](x-a). Règles de dérivation Les dérivées suivant un vecteur étant définies à partir de la dérivation d'une fonction de variable réelle définie par restriction de la fonction à un segment de on ne sera pas surpris d'obtenir des règles opératoires analogues aux résultats classiques de la dérivation. Ainsi, si f et g sont deux fonctions de classe C1 sur l'ouvert on aura pour tout a de O et tout vecteur h de : Dhf(a)+ Dhg(a) Dhf(a) (pour ( constante réelle). [...]

[...] Extension des définitions classiques Disque ouvert Dans le cas du plan Euclidien, les boules ouvertes prennent le nom plus adapté de disque ouvert. Ainsi, le disque ouvert de centre y0) et de rayon ( sera l'ensemble des vecteurs de E=R situés à une distance strictement inférieure à ( de a. On écrira : tels que Contrairement au cas réel où l'intersection de deux intervalles est encore un intervalle, l'intersection de deux disques n'est plus toujours un disque. Par contre, pour chaque point v de cette intersection on pourra trouver un disque ouvert centré sur v et inclus entièrement dans I. [...]

[...] Par définition même : . Il s'agît encore d'un exemple où le théorème de Schwartz ne s'applique pas Partons du développement avec ( de limite nulle en 0. On en déduit que sur O : avec . Ainsi f admettra pour limite 0 en tout point y0) de l'axe des ordonnées et tendra vers le réel x0 en tout point de l'axe des abscisses. On peut donc prolonger f sur en posant sur -O. Ce prolongement est de manière évidente continu sur l'adhérence de O. [...]