Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI sur les fonctions circulaires et hyperboliques

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Cours de Mathématiques de niveau prépa MPSI (Maths, Physique et Sciences de l'Ingénieur) sur les fonctions circulaires et hyperboliques. Cours détaillé suivi d'une série d'exercices types corrigés.

Extraits

[...] On a donc pour x un unique antécédent : Pour x=1 la racine est double égale à X=1. La formule précédente est donc encore valable. _ Remarquons que cette réciproque (appelée Argument-cosinus-hyperbolique) est dérivable sur l'intervalle ouvert suivant : Fonction tangente-hyperbolique. On nomme ainsi et on note th la fonction de R vers R définie par _ Elle est impaire, de classe C ( sur R entier, dérivable suivant la formule : _ Elle est strictement croissante sur de limites respectives et 1 aux bornes infinies. [...]

[...] On en tire facilement les valeurs nécessaires : a=1 ; ; Réalité de la décomposition. Il reste donc à établir que pour tout réel x : th(x-1)th(x-4)=1+ Cette relation équivaut à th(3)[1-th(x-1)th(x-4)]=th(x-1)-th(x-4) ou encore, après réduction au même dénominateur, à l'égalité : th(3)[ch(x-1)ch(x-4)-sh(x-1)ch(x-4)]=sh(x-1)ch(x-4)-sh(x-4)ch(x-1) Or on vérifie facilement, en utilisant les propriétés de l'exponentielle, des formules d'addition ‘hyperboliques' similaires à celles de la trigonométrie classique. Ainsi : sh(a-b)=sh(a)ch(b)-sh(b)ch(a) et ch(a-b)=ch(a)ch(b)-sh(a)sh(b). On en déduit immédiatement la validité de l'égalité étudiée, soit : th(3)ch(3)=sh(3) Le système proposé équivaut à ; ou encore, grâce aux égalités classiques ch(y)+sh(y)=ey et ch(y)-sh(y)=e-y , au système : La compatibilité des deux équations nécessite la relation , qui se simplifie en ex-a+ea-x=3, et conduit à l'équation d'inconnue X=ex-a. [...]

[...] Mais l'une de ces deux racines est strictement négative et l'autre strictement supérieure à 1. La seule solution de l'équation proposée est donc la valeur évidente x=0. Ici aussi les relations classiques conduisent immédiatement à Cette relation équivaut à l'équation du second degré 15x²+16x+3= sous réserve de la condition de signe 2x+1 (0. On en déduit l'unique solution 8. On peut par exemple effectuer le changement de variable avec [ L'égalité proposée se traduit alors sous la forme Arccos(-cos(2())=(- 2Arctan(tan(()) Or et 0 ( . [...]

[...] _ Si cos(a) le trinôme précédent admet pour racines X1=1 et On a donc encore la solution banale x1=0 et la solution sous réserve que X2 c'est à dire que cos²(a)-sin²(a)=cos(2a) ( Partons des égalités classiques : ex=ch(x)+sh(x) et e-x=ch(x)-sh(x) On en déduit immédiatement, vu les propriétés de l'exponentielle, les égalités suivantes : Par quotient on obtient alors l'égalité : 20. Partons de la relation de définition : On en déduit immédiatement . Il suffit alors de substituer à e2x cette expression rationnelle en t dans les 3 formules explicitant les ch, sh, th de 2x. On obtient après simplifications évidentes les relations suivantes : On notera dans ces deux derniers exercices, les similitudes entre les relations obtenues et les formules de la trigonométrie classique. [...]

[...] Il s'ensuit que ces deux fonctions diffèrent d'une constante sur I : ( x(I Examinons les limites en la borne 1. _ _ . La constante C est donc nulle. Lorsque ( décrit l'intervalle , décrit tout l'intervalle Avec les notations fonctionnelles ci-dessus on a alors : _ _ 4. Pour tout couple d'éléments de on a les équivalences suivantes : . La fonction f est donc bien bijective, de réciproque explicitée par : y ( f Pour : . [...]