Fonctions polynômes et second degré

Résumé du document

Cours sur les fonctions polynômes et second degré. Étude complète d'une fonction polynôme et d'un trinôme du second degré. Démonstration de la manière de résoudre une équation du second degré ainsi que de sa factorisation.

Extraits

[...] Comme a pour tout réel x : a x + b x + c = a ( + x + ) Or + x est le début du développement de ( x + ) = + 2 x + ( ) Donc , pour tout réel x , a x + b x + c = a ( ( x + ) ( ) + ) = a ( + ) ) Rem : le réel 4 a c se note ( (delta) et s'appelle le discriminant du trinôme . C ) VARIATIONS ET REPRESENTATION GRAPHIQUE f admet un minimum en f admet un maximum en Rem : Comme nous l'avons vu , le trinôme du second degré f : x ) a x + b x + c ( avec a 0 ) , peut aussi s'exprimer sous la forme f : x ) a ( ( x - ( ) + ( ) . Ainsi f est une fonction associée à la fonction x ) x . [...]

[...] UNICITE DE LA DEFINITION ET DEGRE D'UN POLYNOME ( admis ) Ex : Toute fonction constante non nulle est un polynôme de degré 0 Toute fonction affine x ) a x + b ( avec a 0 ) est un polynôme de degré 1 Toute fonction x ) a + b x + c ( avec a 0 ) est un polynôme de degré 2 ( ou trinôme de degré 2 ) Toute fonction x ) a n x n (avec a n 0 ) est un monôme de degré n Rem Le polynôme nul n'a pas de degré. Certains coefficients d'un polynôme non nul peuvent être nuls. Par exemple pour x ) x 4 + 3 x 3 + x , les coefficients des termes de degré 0 et 2 sont nuls. [...]

[...] Heureusement, en mathématiques, on a une solution pour remédier à ce petit problème : On choisit une seule lettre, a par exemple, et on désigne chacun de ces réels par cette lettre affectée d'un indice, par exemple a1 ( qui se lit a indice 1 ou a 1 pour les pressés ) Ces n réels sont désignés alors par : a a a an Les pointillés représentent tous les réels ai que l'on n'a pas écrits . B ) DEFINITION Rem : Le polynôme de la définition est ordonné suivant les puissances décroissantes de x . Un polynôme est toujours défini sur ; il n'est donc pas nécessaire de le répéter systématiquement . [...]

[...] La fonction, définie sur , par x ) 0 est la fonction polynôme nulle . Les fonctions constantes ( x ) k ) , Les fonction affines ( x ) a x + b ) , les fonctions puissances ( x ) x n ) sont des polynômes . Ex : La fonction définie, sur par P : x ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) est un polynôme. En effet, après développement, on a pour tout réel P ( x ) = x 3 6 x 2 +11 x 6 La fonction Q , définie sur , par Q : x ) est un polynôme. [...]

[...] ( ex : 4 9 = 4 x = ) Lorsque a et c sont de signes contraires 4 a c > 0 donc ( > 0 et l'équation a + b x + c = 0 admet deux solution distinctes . Lorsque l'équation a + b x + c = 0 admet deux racines x1 et x alors : x1 + x2 = et x1 x2 = Application : - Vérifier le calcul des solutions de l'équation a + b x + c = - Trouver une racine connaissant l'autre . [...]