Cours sur la dérivation

Résumé du document

Ce document est un cours complet sur la dérivation. On rappelle d'abord quelques généralités : dérivabilité, continuité, tangente, dérivées successives. On donne ensuite des techniques de dérivations : dérivation de composées et de réciproques, dérivées des fonctions usuelles. Puis, des applications de la dérivations sont présentées : théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, prolongement par continuité, sens de variations, comparaison par intégrale, formule de Taylor. Une vingtaine d'exercices, tous corrigés, cloient le cours.

Extraits

[...] Reste à établir Ceci se montre en utilisant le fait que approche localement mieux que la fonction affine constante x ( On a donc en particulier au point présent dans chacun des voisinages de ce point : , c'est à dire , d'où l'on tire On a donc en définitive : . f est bien dérivable en a avec Dérivabilité et continuité Théorème : Toute fonction dérivable en a est nécessairement continue en ce point . Nous l'avons démontré au passage dans l'étude réciproque précédente. [...]

[...] Pour cette valeur de on peut donc dire qu'il existe au moins un point c de tel que g'(c)=0, ce qui se traduit immédiatement ou encore On en déduit bien l'égalité dite des accroissements finis : a)f'(c) Interprétation géométrique : Le quotient étant le coefficient directeur de la droite joignant les points extrêmes d'abscisses respectives a et b de la courbe représentant f dans un repère cartésien donné, on en déduit qu'il existe au moins un point de cette courbe, distinct de A et où la tangente est parallèle à cette corde (AB). Dérivation d'un prolongement par continuité Soit I un intervalle de R et a un point de I. On considère une fonction f définie sur et dérivable en tout point de cet ensemble. [...]

[...] On peut donc la prolonger par continuité en lui attribuant sa valeur limite en ce point, c'est à dire en posant Sur f (et donc aussi vu la localité de la dérivabilité) est dérivable selon les théorèmes classiques suivant la formule : En (Ici encore en utilisant le fait que sinus est une fonction bornée) Le prolongement est donc dérivable en 0 avec ( Par contre, la dérivée de n'est pas continue en il suffit pour s'en convaincre de considérer la suite n ( , convergente vers alors que la suite de ses images par ( )' stagne sur - donc n'a pas pour limite la valeur de la dérivée en Sur f est dérivable suivant les théorèmes classiques sur les sommes, produits, composées, selon la formule : _ Si cos( on a alors f'(x) (sin( , donc f'(x)(1. _ Si cos( il vient f'(x)=sin( (1. Examinons la dérivabilité en On en déduit f'(0)=0 (1. Pour montrer que 1 est le plus petit majorant des valeurs de f', il suffit de montrer que tout nombre strictement inférieur à (soit du type avec ( pourra être dépassé par un f'(x) avec x convenablement choisi. [...]

[...] _ Pour il s'agît simplement du théorème de dérivation de . _ Supposons la propriété vraie pour un entier n et examinons une fonction u admettant sur I des dérivées successives jusqu'à l'ordre n+1 D'après le théorème de l'inverse, sera dérivable sur I suivant D'après l'hypothèse de récurrence, est dérivable jusqu'à l'ordre n sur I puisque u admet des dérivées jusqu'à cet ordre au moins. De plus u' est dérivable à l'ordre n sur I puisque u y est dérivable jusqu'à l'ordre n+1. [...]

[...] Soit f une fonction à valeurs réelles dérivable en un point a de R. Etudier les problèmes aux limites suivants : 2. On considère la fonction à valeurs dans R définie sur par Montrer que f admet un prolongement continu sur R. Ce prolongement est-il dérivable sur R ? de classe C1 ? 3. Soit f fonction de vers R définie par : ( et Montrer que f est dérivable sur et que (1. Montrer que 1=sup{ ; x décrivant f est-elle de classe C1 sur ? [...]