L'analyse combinatoire

Résumé du document

L'analyse combinatoire est l'ensemble des techniques qui servent à compter, énumérer ou dénombrer des structures finies. Plusieurs éléments importants interviennent dans cette analyse de structure :
- Le nombre de positions (emplacements) du mot à construire
- La notion d'ordre ou de non-ordre sur ces positions
- Le nombre de valeurs acceptées à chaque position (l'alphabet)
- La répétition ou la non répétition de valeurs de l'alphabet pour chacune des différentes positions (...)

Extraits

[...] page 2 Principe fondamental : si le 1er élément peut être choisi parmi u façons différentes, le 2ème élément de v façons différentes , le 3ième de w façons différentes alors le nombre de possibilités s'établit au produit u.v.w façons différentes. Lorsque tous les éléments sont distincts et ne peuvent être utilisés qu'une seule fois, alors si cardinal de E=n le nombre d'arrangements possible jusqu'à épuisement des éléments est : n.(n-1).(n-2).(n-3) et se note (lire factorielle Lorsque les éléments ne sont pas tous distincts, et que l'on retrouve u éléments identiques, v éléments identiques, w éléments identiques . alors le nombre d'arrangements est: n.(n . = u!.v!.w! . [...]

[...] p n mots. L'expression p n est parfois appelée puissance lexicale Exemple en décimal (avec duplication à volonté des éléments de l'alphabet décimal): Soit alors il existe 104 mots (ici des nombres) possibles de 4 caractères (ici des chiffres). Exemple avec des lettres (avec duplication à volonté des éléments de l'alphabet littéral): Soit alors il existe 262 mots possibles de 2 lettres. Factorielle Dans le cas de la puissance exprimée précédemment, on pouvait dupliquer à volonté les éléments de l'ensemble de départ. [...]

[...] Par exemple: Exercices Exercice soit le mot EQUATIONS. A partir des 9 lettres qui le composent on souhaite faire des anagrammes de 5 lettres ayant ou non une signification sémantique (rappel: un anagramme est un arrangement). Combien peut-on former d'anagrammes commençant par E et finissant par L'anagramme résultant sera de la forme: E lettre lettre lettre S Pour chacune des positions nous donnons le nombre de possibilités Il y a donc 1 7 6 5 1 = 210 anagrammes possibles 1 Sous une forme mathématique utilisant la formule de l'arrangement, ce calcul s'écrit: lettres 1S A11EE A73lettres A1S = 210 anagrammes possibles Combien peut-on former d'anagrammes comprenant toutes les consonnes ? [...]

[...] combien existe-t-il de possibilités de former des anagrammes avec voyelles et consonnes alternées? Les anagrammes résultant seront de la forme: voyelle consonne voyelle consonne voyelle consonne voyelle consonne voyelle consonne ou Pour chacune des positions nous donnons le nombre de possibilités ou Il y a donc possibles. 4 4 3 + 5 3 4 = 1200 anagrammes Sous une forme mathématique utilisant la formule de l'arrangement, ce calcul s'écrit: voyelles 2 consonnes voyelles 3 consonnes A53voyelles A4 consonnes + A52voyelles A4 consonnes = 1200 anagrammes possibles page 6 Exercice soit 8 étudiants à placer soit sur un banc d'amphithéâtre acceptant 8 personnes, soit autour d'une table ronde. [...]

[...] Ainsi le calcul se réduit à la forme suivante: 1 7 6 5 4 3 2 1 5 = (et non pas Comme vous pouvez le constater sur l'exemple ci-après , les deux arrangements sont identiques et ne tiennent pas compte par conséquent de la rotation de tous les intéressés de 2 positions en sens inverse des aiguilles d'une montre: Exercice soit un jeu standard de 52 cartes. Un joueur pioche 5 cartes. combien de possibilités d'avoir une pioche ne contenant que des cartes de trèfle? [...]