Courbes Planes

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Courbes Planes

Extraits

[...] On en déduit la présence d'une asymptote oblique d'équation dans le repère orthonormé direct d'origine O et de premier vecteur cos( )e1+sin( )e2. Cette droite est parallèle à la deuxième bissectrice des axes. Le tracé fait apparaître un point double que l'on peut déterminer à partir de l'équation : Celle ci se résume après calculs et simplifications à : Les solutions sur D sont alors et donnant le même point ) Le rayon polaire est fonction paire de ( et de période 2(. Il suffira donc d'effectuer l'étude sur puis de faire jouer la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. [...]

[...] Branches infinies. On dira qu'une courbe paramétrée admet une branche infinie au voisinage de la valeur t0 du paramètre si et seulement si la norme du vecteur tend vers lorsque t tend vers t0, ou plus généralement lorsque t tend vers t0 unitéralement (par valeurs supérieures ou inférieures). Autrement dit le point s'éloigne infiniment de l'origine du repère pour t voisin de t0. Il peut alors être intéressant pour préciser cette fuite à l'infini, d'approximer la branche en question par une courbe plane plus élémentaire. [...]

[...] _ L'abscisse sera localement du signe de positive si t (t0 et négative à gauche de t0 _ L'ordonnée sera positive au voisinage de t0. On dit que l'on a affaire à un point ordinaire. La courbe est d'un même côté du plan délimité par sa tangente, mais traverse l'axe d(M(t0) ; vq) . Si p est impair et q impair. L'abscisse comme l'ordonnée sont localement du signe de donc changent de signe au passage de ce point. La courbe traverse sa tangente et l'axe d(M(t0) ; vq). On dit que l'on a affaire à un point d'inflexion. [...]

[...] _ Courbes définies par une équation polaire. Considérons le vecteur normé formant l'angle orienté ( avec le premier vecteur e1 du repère en question. A toute fonction : , on peut associer une courbe paramétrée au moyen de l'angle ( et définie par la fonction vectorielle : Le point variable de cette courbe est donc ici défini par le couple de coordonnées pseudo- polaire Nous disons ‘pseudo' car ici ne désigne pas ici la distance à l'origine du point mais l'abscisse de ce point dans le repère ; Ainsi un même point pourra être défini par le couple mais aussi par le couple Le passage au mode cartésien classique s'effectue avec : _ Réduction de l'ensemble d'étude. [...]

[...] On dit qu'un tel point est régulier. Dans cette situation il suffira de poser à droite de t0 et pour t ( t0 On en déduit : De même, à gauche de t0 : Il existe donc bien une tangente à la courbe en dirigée par le vecteur dérivée première. Dans le cas particulier du paramétrage polaire, la dérivation de conduit à : , avec Si le vecteur F'(t0) est nul, il faudra effectuer une étude locale plus fine, en utilisant par exemple la technique des développements limités pour chacune des fonctions composantes. [...]