Corrigé Mathématiques I (filière MP) du concours Centrale-Supélec 2011

Résumé du document

Soit f une fonction réelle, définie continue et décroissante sur [a, + infini[, où a E R. Soit un entier k E [a + 1, + infini[.

La fonction f est intégrable sur [k - 1,k] et sur [k,k + 1] et puisqu'elle est décroissante sur [a, + infini[, alors :

(...) Alors une primitive de f est la fonction définie sur [1, + infini[ qui à tout x E [1, + infini[ associe ln x. L'inégalité de gauche de la formule (1) peut donc être reprise de la manière suivante :

(...) Supposons maintenant que a E R_. la fonction -f est décroissante sur [1, + infini[ et d'après la question I.A.1) :

(...) L'inégalité de droit se réécrit :

(...) Soit un nombre réel a > 1. La formule (1) de la question I.A.2) s'applique donc :

(...) En utilisant l'encadrement de la question I.A.1), nous avons abouti à l'inégalité suivante lorsque nous avons traité le cas où a > 1 dans la question 1.A.2) :

(...) Pour répondre à la question posée, nous allons procéder en deux étapes :
- première étape : nous allons démontrer que pour tout p E N*, il existe un p-uplet (a0, a1, ..., ap-1) E Rp tel que pour tout intervalle non réduit à un point I et pour toute fonction complexe f de classe Cinfini sur I, la fonction g définie sur I par g = a0f + a1f' + ... + ap-1f(p-1) vérifie :
(...) où les bl,p sont des coefficients indépendants de f.

(...) L'assertion de la première étape est immédiatement démontrée pour p = 1 : en effet,; dans ce cas, y = a0f et a0 = 1 convient notoirement.

(...) La composante de droite de l'égalité ci-dessus est une (double) somme des termes f, f', ... et f (2p-1), pondérés par des nombres réels indépendants de f. En définissant n = k + i et en effectuant un changement d'indice, on obtient :

(...) Sous cette forme, nous remarquons que les coefficients de f(n) sont ceux constituant la matrice colonne Y de dimension 2p - 1 qui résulte du produit matriciel MpX où (...)

Extraits

[...] Concours Centrale-Supélec Mathématiques I . Donc : B 0 B Ceci conclut la démonstration. Ainsi : / . c e Déterminons et / : H c Nous avons vu plus haut que Calculons : / c X II.A.3) c D'après la question II.A.2), . 1 pour tout entier naturel Donc la série entière absolument convergente sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans En effet : Par conséquent, la série entière complexe tel que D 1. [...]

[...] est donc strictement / D 0. Donc vérifie la étape. alors Si + 0 1 était négatif ou nul, alors, étant donné le sens de variation de sur serait strictement positive sur Donc la primitive serait strictement décroissante sur Donc on aurait Or, d'après la question III.A.2)c), 0 ce qui contredit l'affirmation précédente. Par conséquent, + 0 sur Ú0, Û et strictement croissante sur Ú , 1Û. / / est une primitive de ^ vérifie la propriété Comme ^ sur alors ^ D 0 sur Û0, /Ú et est strictement décroissante ^ sur 1 est strictement positif. [...]

[...] De même, det7Šw et pour tout z h0, u 1i : Δ., ( p k 1 M -ième 12 Concours Centrale-Supélec Mathématiques I M L O O O L L L O O L L L L M L L 0 M O 1 1 O O M M O O L L O O O O L L O L L M M 0 ] y 1 + M 1 1 M 1 M O 1 M M 1 M M M M M L L 1 i + M h 1i. [...]

[...] & B 40 Concours Centrale-Supélec Mathématiques I 2zí& 2zí& B B / 2zí& B + v v v v 0 / z í & H + B 1 2zí& B + B 1 2zí& 2011 Finalement : H cH IV.C Comportement de l'erreur Soient deux entiers & et , de . Ainsi, aux ordres et ccH G cH ïcH IV.C.1) & / & 1 / " & " {Â " / y1X ' Nous avons précédemment déterminé les dérivées successives 2 en nous avons respectivement : 1 z } / " 1 {Â " y1X {Â " y1X 1 z } / z } / " {Â " y1X 1 z } / Donc, d'après la question IV.B.4), nous avons : ü / / ü Ainsi : H IV.C.2) / & ü / / & ü & / . [...]

[...] Supposons que " la fonction réelle, définie sur par Alors la fonction & ' % & est décroissante sur et d'après la question I.A.1) : + + 1 * Soit , En sommant sur Cas : " / puis en ajoutant nous obtenons : 1 * + + + 1 * * Alors une primitive de L'inégalité de droite de la formule peut donc être réécrite de la manière suivante : est la fonction définie sur qui à tout * & . + " " associe * # $ * " Concours Centrale-Supélec Mathématiques I La série réelle ' Cas : " est convergente (et sa limite est par la suite définie par définie par , ' * Donc est croissante et majorée pour tout 1 * .$34 * . Or la suite est convergente. [...]