Corrigé du Bac S Mathématiques d'Amérique du Nord (session 2018)

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Corrigé Bac S Mathématiques, Bac S Amérique du Nord, Bac S 2018, démonstration, variable aléatoire, loi exponentielle, droite parallèle, droites sécantes, modélisation, graphique, fonction

Résumé du document

Ce document est un corrigé du Bac S de mathématiques, session 2018, pour la zone géographique de l'Amérique du Nord. Le premier exercice vaut six points ; son énoncé est le suivant : "on étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville. Partie A : Démonstration préliminaire. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2.

Extraits

[...] D´montrons que  dorite est perpendiculaire aux droites et (CD). e la      xJ − xI 4−5 −1 − → On a :IJ =  yJ − yI  = −4 + 4 =  0 . zJ − zI 6− − → − → Calculons  produit scalaire de IJ et de AB. le    − − − → → IJ.AB =  0  . −8 = −10 + 0 + 10 = D'o` la droite est perpendiculaire a la droite (IJ). [...]

[...] e e e On admet que la fonction f poss`de un maximum sur l'intervalle et que, pour tout r´el e e x de l'intervalle : f = −bx+b−2 1−x Montrons que le maximum de la fonction f est ´gal a b − 2 + 2ln( 2 ) e ` b Pour ce faire, calculons les variations de la fonction sur l'intervalle Soit x ∈ On a alors 0 x 0 ` Le signe de la d´riv´e de f sur l'intervalle est donc le mˆme que le signe de −bx + b − 2 e e e Et on a : f = 0 ⇔ −bx − b − 2 = 0 ⇔ x = b−2 b De mˆme, en suivant le mˆme raisonnement : e e f > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f > 0 ⇔ −bx + b − 2 1−x −bx + b − 2 > 0 (car 1 − x > bx 0 b 2 x 2 ⇔ e ´ e De la mˆme fa¸on, on a : e c h = 0 ⇔ 1 − 2 b 2 b h = 0 ⇔ b = 2 ⇔ La fonction h est donc strictement croissante sur +∞[. D'o` son tableau de variations : u septembre 2019 Terminale S - Math´matiques - 2018 e x 2 h Am´rique du Nord e α 0 +∞ 10 + +∞ 4.78 h A l'aide de la calculatrice, nous calculons h(10) = La fonction h est continue et strictement croissante sur ∞[ et donc sur 10]. [...]

[...] e En conclusion : Les droites et ne sont pas coplanaires septembre 2019 Terminale S - Math´matiques - 2018 e Am´rique du Nord e 2.a. Soit I ∈ avec xI = 5 et J ∈ avec xJ = 4   x = 10t y = −8t L'´quation param´trique de la droite est : : e e  z = 2t xI 5 Puisque I ∈ alors xI = 10t ⇔ t = 10 ⇔ t = 10 ⇔ t = Et on a yI = −8 × 1 = −4 et zI = 2t = 2 × 2 = D'o` −4, 1). [...]

[...] De mˆme, ⊥ ∆ et ∆ = (IP e donc ⊥ (IP On a : ⊥ (IM ) et P donc P ) ⊥ (IM De mˆme: ⊥ et P ) donc, ⊥ P e Enfin, ⊥ (IP ) et P ) donc(IP ) ⊥ P et ne sont pas colin´aires car les points P et M appartiennent a 2 droites s´cantes, e ` e donc : P ) ⊥ (IP M donc ` toutes les droites incluses dans ce plan et en particulier a (PM). D'o` le triangle MPM' est rectangle en P. [...]

[...] e e Donner la dur´e moyenne d'attente d'un client a une borne automatique de paiement. e ` La variable al´atoire T (attente dans une borne automatique) suit une loi exponentielle e de param`tre min− nous avons alors : e = λ min−1 E(T ) ≈ 5min E(T ) = La dur´e moyenne d'attente d'un client ` une borne automatique de paiement est alors de e a pr`s de 5 min. e Calculer la probabilit´, arrondie ` 10− que la dur´e d'attente d'un client a une borne e a e ` automatique de paiement soit sup´rieure ` 10 minutes. [...]