Les vecteurs et repères en mathématiques

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les vecteurs et les repères pour les Secondes. Ce chapitre est indispensable pour des études en première scientifique ou même pour les autres filières.

Extraits

[...] r r Deux droites d et d' de vecteurs directeurs respectifs u et v sont r r u et v sont non nuls et En résumé : A,B,C,D étant quatre points distincts, les phrases suivantes sont équivalentes : AB et CD sont colinéaires AB et CD ont la même direction Les droites et sont parallèles Il existe un réel k tel que AB = k CD Tout vecteur directeur de est un vecteur directeur de V / Vecteurs et figures simples Milieu d'un segment Il est équivalent de dire : I est le milieu de M B I A AI = IB r IA + IB = 0 Propriété : Si I est le milieu d'un segment alors pour tout point M du plan, on a : AB = 2AI 1 AI = AB MI = MA + MB 2 ( ) Théorème des milieux Dans un triangle ABC Si M est le milieu de Si N est le milieu de alors : 1 BC MN = 2 M A N C B Centre de gravité d'un triangle Rappel : Le centre de gravité G d'un triangle est le point d'intersection des médianes A Position de G : GM = 1 AM 3 GA = GM AG = 2 AM 3 B G C M r G est l'unique point du plan tel que GA + GB + GC = 0 Propriété caractéristique : VI / Repères et coordonnées Repère du plan r r Un repère du plan est un triplet ( O ; i ; j ) constitué : un point O appelé origine du repère r r un couple ( i ; j ) de vecteurs non colinéaires r r Le couple ( i ; j ) est appelé base du repère ; il forme une base de l'ensemble des vecteurs du plan. Lorsque les directions des vecteurs on dit que le repère est orthogonal. [...]

[...] Notation : Un vecteur est noté par une lettre : Exemple : AB = u Tous les représentants d'un même vecteur sont alors notés avec la même lettre : r r r r u , v . r AB = CD = u r AE = CF = v r u A B r v C r u r v F D E Remarque : On peut représenter le vecteur n'importe quelle origine r u à partir de II / r r Somme et différence de deux vecteurs r r u , v deux vecteurs. [...]

[...] III. IV. Somme et différence de deux vecteurs Produit d'un vecteur par un nombre réel Définition Propriétés algébriques Définition Applications : Alignement de points ; parallélisme de droites Vecteur(s) directeur(s) d'une droite Milieu d'un segment Théorème des milieux Centre de gravité d'un triangle Repère du plan Coordonnées d'un point dans un repère ; coordonnées d'un vecteur dans une base Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs Distance entre deux points dans un repère orthonormal Vecteurs colinéaires V. [...]

[...] Chap.4 : Vecteurs et repères I. Chap.4 : Vecteurs Définitions et notations Qu'est ce qu'un vecteur ? Vecteurs égaux II. [...]

[...] r Le vecteur t n'est pas colinéaire aux autres. Remarque : r r r pour un vecteur u non nul, k u a la même direction que u , donc : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. Applications : Alignement de points Les points A,B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs C A B AB et AC sont colinéaires. [...]