Continuité d'une fonction réelle de variable réelle

Résumé du document

Cours théorique de Mathématiques sur la notion de continuité d'une fonction réelle.

Extraits

[...] 1.c L'image par f d'une partie born´ee est une partie born´ee. Mˆemes questions que en supposant qu'en plus, f est strictement monotone. Exercice 3 Soit g C 0 tel que lim x = l [...]

[...] x x sur Corollaire 1 Soit f une fonction continue sur ` a valeurs r´eelles. On suppose que, pour tout x f > 0. Alors il existe un nombre r´eel m > 0 tel que, pour tout x on ait f m. emonstration : Il suffit en effet de poser m = inf f et de remarquer que m = f donc que m est strictement positif. Exercice d'application 4 Donner des exemples aussi simples que possible : d'une fonction f continue born´ee sur qui n'atteint pas sa borne sup´erieure ; d'une fonction f continue born´ee sur partout strictement positive, et telle que m = inf f = 0 ; d'une fonction f continue born´ee sur partout strictement positive, et telle que m = inf f = 0. [...]

[...] 7 Exercice 6 Soient f et g deux fonctions continues sur et telles que pour tout x on ait 0 suite quelconque d'´el´ements de et soit (yn la suite de terme g´en´eral f (xn ) n yn = . g(xn ) Montrer que la suite (yn converge et calculer sa limite ements de quelques corrig´ es Un corrig´ e de l'exercice Comme f est continue l'application g d´efinie sur par = f x l'est aussi. [...]

[...] Montrons ` a l'aide d'exemples que le r´esultat de la deuxi`eme question n'est plus vrai si f cesse d'ˆetre continue ou croissante ou si l'intervalle de d´efinition est non ferm´e ou non born´e. [...]

[...] Exercice d'application 3 Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit´e au point 0 ? x f1 = x ln x x f2 sin , x sin x sin x1 x f3 = , x x f4 = x sin , x f5 = sin x cos , x f6 = x x x Rappel : Les fonctions x sin x et x cos x n'ont pas de limite quand x Image d'un intervalle par une fonction continue 6.1 Image d'un intervalle quelconque par une fonction continue eor` eme 4 Si I est un intervalle inclus dans Df et si f est continue sur I alors l'image de l'intervalle I par f est aussi un intervalle Image d'un segment par une fonction continue eor` eme 5 Soient a et b deux nombres r´eels tels que a [...]