Le calcul propositionnel

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur le calcul propositionnel.

Extraits

[...] Le connecteur est représentée par : P Q ou Sa Table de Vérité est : P V V F F Q V F V F V V V F Ces 3 connexions nous permettent de faire des calculs et l'on peut calculer d'autres propositions : 5 = P Q ou - Page 3 - CINQUIEME PARTIE L'implication : - CALCUL PROPOSITIONNEL avec : P implique Q ou P entraîne Q ou Si alors Q le connecteur utilisé est : P implique Q ) Sa Table de Vérité est : P V V F F Exercice : V F V V Q V F V F Faire la table de vérité de P V V F F F F V V Q V F V F V F V V On vérifie que P Q = Q L'équivalence : avec : P équivalent à Q cad P implique Q ET Q implique P le connecteur utilisé est : ( P équivalent à Q ) Sa Table de Vérité est : P V V F F Q V F V F - Page 4 - V F F V CINQUIEME PARTIE Exercice : - CALCUL PROPOSITIONNEL Faire la table de vérité de P V V F F Q V F V F Q P V V V F V F V F F V V V De là est né le calcul booléen que nous verrons plus tard. Avec le calcul propositionnel, on a les opérations. Il suffit de voir les relations d'ordre et les ensembles pour arriver aux algèbres de Boole. Formes Propositionnelles Les nombres seuls, ne permettent pas d'exprimer des fonctions ; C'est pourquoi, on leur adjoint des variables qui s'ajoutent et se multiplient entre elles avec les nombres, pour donner des expressions Polynomiales. [...]

[...] On obtient alors des Formes propositionnelles. 2 plus 2 fort 4 est une Forme Propositionnelle ou formule propositionnelle qui dépend des variables et R. A chaque Forme Propositionnelle, on peut bien sûr adjoindre une Table de Vérité. Exercice : Construire la table de vérité de Modèles P V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F F F F F V V V V V F F F V F F F V F F F V V V V Si vrai = Modèle - Page 5 - CINQUIEME PARTIE - CALCUL PROPOSITIONNEL On dit qu'un choix des valeurs de Vérité, des variables, qui donnent une proposition vraie, s'appelle un Modèle de la Forme Propositionnelle. [...]

[...] Son idée de traiter les vérités et les faussetés comme de simples objets qui se combinent selon certaines règles, l'a conduit à inventer un nouveau type de calcul, qui porte son nom : L'Algèbre de Boole. Grâce à ces travaux, la machine peut battre l'homme aux échecs. C'est le passage vers une mise en forme abstraite des raisonnements logiques. Propositions Nous exprimons nos idées, construisons, énonçons, au moyen d'affirmations. Les affirmations suivantes sont des Propositions : 1 plus 2 égale 3 ' La mer est rose ' 8 est plus grand que 35 ' Le fait d'affirmer que 8 est plus grand que 35 ' est d'une forme correcte. [...]

[...] Autre façon de formuler la question : F G est-elle une Tautologie ? Ou F G est-elle Vraie ou Fausse ? P V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F V V F F V V V V V F V V V F V V V F F F V F V V A chaque fois que F prends la valeur j'ai bien V dans G Donc, on a bien F G Les classes des Formes Propositionnelles On dit que deux Formes propositionnelles F et G sont synonymes ou équivalentes, quand elles ont la même Table de Vérité. [...]

[...] Il y a donc des propositions vraies et aussi des fausses, et non les deux à la fois. Cette convention est fondamentale. Elle permet d'associer à chaque proposition, une valeur de vérité ou 1 si la proposition est vraie, F ou 0 si elle est fausse). Le but est de distinguer parmi les propositions, les vraies des fausses, c'est à dire calculer les valeurs de vérité. Il s'agit ici de déterminer la valeur de vérité de propositions construites en combinant entre elles des propositions dont les valeurs de vérité sont déjà connues. Il s'agit de Calcul Propositionnel. [...]