Les comportements asymptotiques

Résumé du document

Cours de Mathématiques, illustré d'exemples, sur les comportements asymptotiques.

Extraits

[...] On considère une fonction f définie sur df et soit a df ou est une borne de df . On dit que f a pour limite + en a pour signifier que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de alors les nombres x ) finissent toujours par dépasser n'importe quel nombre M aussi grand que l'on veut. On écrit : lim x ) = + a On dit que la droite d'équation x = a est une asymptote verticale de la courbe cf représentative des variations de la fonction f en a. [...]

[...] Ce sont des cas qui nécessitent une étude particulière Il y a 4 cas : - ; 0 ; et 0 Ces écritures n'ont pas de sens , ce sont des moyens mnémotechniques pour rappeler que , dans ces cas, il n'y a pas de conclusion systématique. Ces écritures ne doivent pas apparaître dans une rédaction. Comportements asymptotiques Fonctions polynômes. Soit f une fonction polynôme définie sur alors = an xn + an-1 xn 1 + . + a1 x1 + a0 si an 0 alors x ) = an xn ( 1 + On a lim ( an 1 a1 a + + + 0n) an x an x an xn - 1 an 1 a1 a ) = 0 ; . [...]

[...] Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes. x ) = x ) x ) exemple : x ) = x2 3x + 6 x2 ( 1 + 2 ) x x x ) = 1 1 ) = x ( 1 + 2 ) = 1 et x x lim lim 1 x2 ) = 1 donc x ) a la même limite que soit x x x d'où le théorème : En l'infini, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses monômes de plus haut degré. [...]

[...] On écrit : lim x ) = l On dit que la droite d'équation y = l est une asymptote horizontale de la courbe cf représentative des variations de la fonction f en + Limite d'une fonction en + . On considère une fonction f définie sur un intervalle - ; b ( au moins On dit que f a pour limite + en - pour signifier que lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeurs absolues alors les nombres x ) finissent toujours par dépasser n'importe quel nombre M aussi grand que l'on veut. [...]

[...] Comportements asymptotiques Limite d'une fonction en + . On considère une fonction f définie sur un intervalle a ; + ( au moins On dit que f a pour limite + en + pour signifier que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + les nombres x ) finissent toujours par dépasser n'importe quel nombre M aussi grand que l'on veut. On écrit : lim x ) = + x x On admettra que les fonctions x x2 ont pour limite + en + x3 dit que f a pour limite - en + pour signifier que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + les nombres x ) deviennent très grands en valeurs absolues mais négatifs. [...]