Complements d'analyse

Thèmes abordés

Analyse-fonctions convexes- suites

Résumé du document

Cours sur des complements d'analyse (1ère année CPGE)

Extraits

[...] Montrer alors que αn 1 ln(1−αn ) . En déduire, en remarquant (et en justifiant) que n Donner alors un équivalent de 1 αn quand n tend vers l'infini. ln ln αn ) = o (ln αn que ln αn ) ln n. C L'ensemble CN C.1 Définitions Définition 2 Une suite de nombres complexes (ou suite à valeurs complexes) est une application de N dans C ; la suite u : N C est notée (un ou (un ) s'il n'y a pas ambiguïté. [...]

[...] Montrer que, pour tout n l'équation fn = 0 admet une unique solution dans notée xn cor Soit C La suite (zn définie par z0 = a et zn+1 = bzn est-elle convergente ? Mathématiques chapitre : Compléments d'analyse page Histoire de voir que ça marche . Écrire les sommes de Riemann associées aux intégrales suivantes : t 0 t dt e dt. Tester la proposition du cours sur ces exemples Une méthode d'approximation de π. Justifier que 0 x4dx = π. Déterminer le nombre minimal de trapèzes 2 nécessaire pour être sûr d'obtenir une approximation de π à près 15. cor Méthode des points milieux. [...]

[...] des rectangles). G Présentation Soit f : R continue. Pour tout n , tout k { n on note à nouveau xk = a + k . n Pour la méthode des rectangles, on "approche" f à l'aide de fonctions en escaliers fn : fn est constante sur b chaque intervalle ;la suite des intégrales de fn tend alors vers a f dt. On va être plus précis : on va "approcher" f par des de fonctions affines par morceaux (et non plus constantes par morceaux i.e. [...]

[...] Alors Γf est audessus de chacune de ses tangentes. F.5 Fonctions dérivables convexes Proposition 16 Red Caractérisation des fonctions dérivables convexes. Soit f : I R dérivable sur I.Alors f est convexe ssi f est croissante. Il est alors immédiat que : Corollaire Caractérisation des fonctions deux fois dérivables convexes. Soit f : I R deux fois dérivable sur I. f est convexe ssi f 0 sur I. Mathématiques chapitre : Compléments d'analyse page 13 Exemples (come-back) On sait maintenant déterminer sans difficulté la convexité des exemples donnés en cours de route : R R , R R , R , R , les fonctions affines . [...]

[...] B.3 Comparaison des suites de référence Les suites de référence dont nous parlons ici sont les suites lnβ n où β (nα ) où α (an ) où a et (nn On rappelle que : Mathématiques chapitre : Compléments d'analyse page 4 si β > 0 β 1 si β = 0 ln n 0 si β 1 1 si a = 1 n ) 0 si 0 0 α 1 si α = 0 n 0 si α [...]