Les coefficients binomiaux

Thèmes abordés

Mathématiques probabilité combinatoire coefficients binomiaux

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques niveau L1. On y trouve la définition des coefficients binomiaux, quelques propriétés et surtout toutes les démonstrations (qui sont exigibles au CAPES de mathématiques notamment).
Le tout est illustré par quelques applications à la fin qui peuvent être données en exercices à des élèves.
Il s'agit d'un cours à prendre en amont de celui sur le binôme de Newton, il faut absolument maîtriser ce document avant d'envisager poursuivre en probabilité et en combinatoire.

Extraits

[...] On notera que ce nombre est un coefficient binomial . le nombre de combinaison ainsi définies, on dira Exemple : si on considère l'ensemble on peut prendre comme combinaison à deux éléments. Il y a en tout trois parties à deux éléments et c'est-à-dire . Remarque : les combinaisons ne tiennent pas compte de l'ordre, ainsi les ensemble et par exemple, sont les mêmes. Propriétés : (propriété dite du triangle de Pascal et Démonstrations : Il est évident qu'il n'y a qu'une partie à 0 éléments dans une partie à n éléments, il s'agit de l'ensemble vide, d'où . [...]

[...] On veut un roi parmi les 4 donc : On veut 2 dames parmi les 4 donc : possibilités possibilités Pour les trois autres, on veut deux cartes parmi celles qui restent, moins les rois et les dames (soit 32-3-5=24) : possibilités. En tout, on dénombre donc 4x6x276=6624 mains qui contiennent 1 roi et 2 dames. Combien existe-t-il d'anagramme du mot analyse ? Nous avons 7 lettres à placer, parmi elles il y a les deux a ce qui donne possibilités. Pour la lettre suivante, le n par exemple, il reste 5 lettres à placer, soit possibilités. De même pour les lettres suivantes, on trouve successivement 4 et 1 possibilités. [...]

[...] On a clairement . En passant au cardinal dans cette relation et en considérant le fait que On a . Conséquence : il est possible de déterminer les premiers coefficients binomiaux grâce à la dernière formule et une relation de récurrence, on a ainsi On peut lire par exemple . II. Définition algébrique et applications Théorème : si Démonstration : Nous allons démontrer ce théorème par récurrence, en posant pour hypothèse de récurrence : Pour n=1 : Si la propriété 1 nous permet d'affirmer : Si avec la même propriété, on a : La propriété est donc vraie pour n=1. [...]