Majoration Gaussienne du noyau de la chaleur

Résumé du document

Ce mémoire est organisé en cinq chapitres. On commence par deux chapitres de préliminaires. Dans le premier on s'intéresse à la construction du noyau de la chaleur sur une variété non-compact M. On présente dans les quatre sections qui constituent ce chapitre les théorèmes et les notions nécessaires à la définition du noyau de la chaleur.

Extraits

[...] µ(M ) L'opérateur de Laplace peut être considérer comme étant un opérateur non borné dans L2 (Ω) dont le domaine de définition est (Ω). Ainsi,il devient un opérateur essentiellement auto-adjoint. Sa fermeture est appellée : l'opérateur de Dirichlet-Laplace et est noté par . Cet opérateur a pour domaine : ) = f H1 (Ω) : L2 (Ω) 5 et son spectre ) = λk Remarque Ici on a considéré car il est défini positif. [...]

[...] Remarque Si les conditions du théorème ( 6.2 .1) sont valable pour 0 0. En effet, il suffit de prolonger la fonction f en qu'on définit par : f si t t0 f = f (t0 ) si t t0 Sachant que est décroissante en t et que f est croissante on a pour tout t > t0 : p(x,x,t0 ) c f (t0 ) c = f Estimation de la dérivée par rapport au temps du noyau de la chaleur On peut appliquer le théorème principal ( 6.2 .1) pour obtenir une majoration Gaussienne de la dérivée par rapport au temps du noyau de la chaleur. [...]

[...] D'autre part on sait que : Df.u = si l'on définit L par : L : Tx M u alors par le théorème de Riesz on aura : 54 Donc : ) 1 ,x0 M Enfin: Majoration Gaussienne et formule de la moyenne On présente dans ce paragraph une autre méthode pour obtenir une majoration Gaussienne du noyau de la chaleur sans utiliser la quantité ED Cette méthode se base sur l'inégalité de DAVIES présentée dans son article et sur la propriété de la moyenne, et nécessite que la variété M soit complète avec une courbure positive. En effet, le fait que la variété Riemannienne soit complète avec une courbure positive assure que la propriété de la moyenne est vérifiée sur M . [...]

[...] Ainsi d2 M 2Dt 2 Donc : 1 e 2 d2 4Dt et parsuite : c0 r V q t 2 q t ) 2 d2 ) 4Dt 1 où c0 = 2e 2 c Preuve Si > 2 τ on aura : c2 p τ V τ τ ) 58 2 τ )dθ 4θ t−2τ Z t d2 2Dt 1 D 0 q q 4t t t V ) Considérons maintenant la fonction définie sur par : f = on a : d2 2t f 0 = 2 > + x Ainsi: f 0 = 0 donne d'ou : x 2t x+1 d x d2 x+1 + 2(1 + x1 avec x > 0 2t d 2t d =α comme par hypotèse d > 2t soit d2t 0. Ainsi sur + f décroit de vers f puis croit vers d2 + 2t. On peut alors conclure que : > 0 f f (α). [...]

[...] ) min(1, D γ Preuve Par la propriété du semi-groupe on a : Z = p(x,z,t dµ(z) M en dérivant par rapport à t cette dernière identité (chose permise puisque le noyau de la chaleur est une fonction assez régulière, de classe C même.), on aura : = puisque Z M dµ(z) = Z p(x,z,t dµ(z) M = p. Ainsi, pour s = 2t on aura : Z t t = ) ) dµ(z) M or comme on l'a déja montré, si on pose : r = , r1 = et r2 = alors 2 r2 r2 r2 on aura : r2 r12 + r22 et alors exp( Dt1 ) exp( Dt2 ) 2Dt ) Ainsi, on aura l'estimation suivante : Z r1 r2 r2 = ) p(x,z,t s)e Dt p(z,y,s)e Dt dµ(z) 2Dt M 40 en applicant l'inégalité de cauchy schwarz, on aura : 12 Z 21 r2 t 2r22 t 2r ) p ) e Dt dµ(z) ) e Dt dµ(z) 2Dt M M En posant : ED Z t 2r12 = ) e Dt dµ(z) 2 M 2 et en remarquant que : Z t 2r22 p2 ) e Dt dµ(z) = ED 2 M la dernière estimation s'écrira : r t t r2 ED ) ED ) 2Dt Or, pour y M et t > 0 on a par hypotèse : t 1 ) t 2 2 ) alors par l'application du théorème ( 6.3 .1) on a : 4A t ED ) 2 g(2δ 2t ) soit : t 2 A ED ) p 2 g(δt) r Ainsi, si on peut trouver une estimation du type ED const f (δt) le résultat en découlera. [...]