Les chaînes, les cycles et les parcours

Résumé du document

Parcours naturels d'une chaîne ; parcours naturels d'un cycle.

- Soit P une chaîne de longueur non nulle. Il existe 2 parcours de P dans lesquels chaque arête de C n'a qu'une seule occurrence.
- Soit C un cycle de longueur h. Il existe 2h parcours de C dans lesquels chaque arête de C n'a qu'une seule occurrence

Remarque : Pour un graphe quelconque il n'y a pas, a priori, de parcours naturels (...)

Extraits

[...] -Un sommet x de G peut apparaître plusieurs fois dans la liste des sommets de Un 5 c fI Y d Yc b b R aI TI S R PI H U2Q2¢G 5 D D DC B : ) @863420( La longueur du cycle est n ( % # ! ) : Une chaîne d'ordre pour n est isomorphe au graphe Pn défini par: & ' 1RWDWLRQ: On note la longueur d'un parcours. 9RFDEXODLUH: s s0 est O¶RULJLQH du parcours. [...]

[...] 2 sommets d'un graphe G sont dits UHOLpV GDQV * SDU XQH FKDvQH s'il existe une chaîne de G dont ils sont les extrémités II) Cycles 'pILQLWLRQ: Un cycle d'ordre pour est un graphe isomorphe au graphe Cn défini par: Les sommets de Cn sont les éléments de l'ensemble { n}. Les arêtes de Cn sont les paires pour n ainsi que l'arête n}. III) Parcours YX VWT Un cycle d'un graphe G est XQ VRXV JUDSKH qui est lui-même un cycle. [...]

[...] sk est O¶H[WUpPLWp du parcours. Le QRPEUH G¶RFFXUUHQFH d'un sommet x de G est le nombre d'indices tels que si Vocabulaire (suite): On dit que 2 sommets d'un graphe G sont UHOLpV SDU XQ SDUFRXUV dans ce graphe s'il existe un parcours de G dont l'un est origine et l'autre est extrémité Concaténation: Soient 2 parcours 31=(s0, s et 32=(t0=sk, t d'un même graphe G (l'extrémité de 31est l'origine de 32 Alors la Parcours QDWXUHOV d'une chaîne; Parcours QDWXUHOV d'un cycle. [...]

[...] Pour tout graphe sans cycle d'ordre n et ayant m arêtes, on m n-1. un graphe, avec IXI=n et IEI=m G sans cycle Á m il ne faut pas confondre la notion de sousgraphe (une chaîne est un sous-graphe) et celle de parcours. Attention: Remarque: En appliquant le lemme précédent dans le sousgraphe G on obtient une chaîne P qui ne contient que des sommets et des arêtes de 14 s y s x s w s t s v46vtu42r s s Soit * un graphe et 3 s XQ SDUFRXUV de G dans lequel FKDTXH VRPPHW de G a DX SOXV XQH VHXOH RFFXUUHQFH. [...]